Macierze gamma

Macierze γ i ich definicja

Macierze γ, znane również jako macierze Diraca, to zbiór czterech zespolonych macierzy o rozmiarze 4×4: $gamma^0,\; gamma^1,\; gamma^2,\; gamma^3$. Służą one w kontekście relatywistycznej mechaniki kwantowej, a ich podstawowe właściwości opisane są przez zestaw równań.

Podstawowe równania macierzy γ

Macierze γ spełniają następujące warunki:

• $(gamma^0)^2\; =\; I$
• $gamma^i\; gamma^0\; +\; gamma^0\; gamma^i\; =\; 0$
• $gamma^i\; gamma^j\; +\; gamma^j\; gamma^i\; =\; 2g^\{ij\}I$

gdzie $g^\{ij\}$ to element tensora metrycznego czasoprzestrzeni.

Kowariantne macierze γ

Kowariantne macierze γ definiuje się jako:
$gamma\_mu\; =\; g\_\{mu\; nu\}\; gamma^nu\; =\; left\{gamma^0,\; -gamma^1,\; -gamma^2,\; -gamma^3\; right\}$.

Reprezentacje macierzy γ

Macierze γ mają różne reprezentacje, z których najbardziej znane to:

Reprezentacja Pauliego-Diraca

W tej reprezentacji macierze γ wyrażają się przez macierze Pauliego:

gdzie $I$ to macierz jednostkowa 2×2.

Reprezentacja Weyla (chiralna)

W tej reprezentacji macierze γ mają postać:

Macierz γ⁵

Macierz γ⁵ definiuje się jako:
$gamma^5\; =\; i\; gamma^0\; gamma^1\; gamma^2\; gamma^3$.
Posiada ona istotne właściwości, takie jak:

• jest macierzą hermitowską: $(gamma^5)^dagger\; =\; gamma^5$
• jej wartości własne wynoszą $pm\; 1$
• antykomutuje z macierzami γ: $left\{\; gamma^5,gamma^mu\; right\}\; =\; 0$

Macierze alfa i beta Diraca

Równanie Diraca można przekształcić, wprowadzając macierze:

• $alpha^i=gamma^0gamma^i$
• $beta=gamma^0$

W reprezentacji Diraca macierze te przyjmują formę:

Macierze alfa i beta są hermitowskie, co ma znaczenie w kontekście analizy równań kwantowych.