Reklama

Macierz transponowana

Macierz transponowana, oznaczana jako $A^{\mathrm{T}},$ powstaje z macierzy $A$ poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i odwrotnie. Proces ten nazywa się transpozycją.

Reklama

Jeśli macierz $A$ zawiera elementy $a_{ij}$ , to w macierzy transponowanej $A^{\mathrm{T}}$ elementy te są przedstawione jako $a^{\mathrm{T}}_{ij} = a_{ji}.$

Przykłady transpozycji

Transponować można macierze prostokątne. Na przykład:

Reklama

Jeśli:

$A=\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1 & 4\\
-1 & 2 & 0 & 1\\
2 & 2 & 0 & 1
\end{bmatrix},$

to macierz transponowana ma postać:

$A^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}
2 & -1 & 2\\
3 & 2 & 2\\
1 & 0 & 0\\
4 & 1 & 1
\end{bmatrix}.$

W przypadku wektora kolumnowego:

$A=\begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 5\end{bmatrix},$

jego transpozycja to:

$A^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}2,1,5\end{bmatrix}.$

Transpozycja macierzy symetrycznej

Macierz symetryczna ma identyczne elementy symetrycznie rozmieszczone względem przekątnej. Przykłady macierzy symetrycznej to:

$\begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 9 \end{bmatrix}.$

Dla macierzy symetrycznej zachodzi:

$A^{\mathrm{T}} = A.$

Własności transpozycji

Poniżej przedstawione są kluczowe własności operacji transponowania:

$(A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = A$
$(\alpha A)^{\mathrm{T}} = \alpha A^{\mathrm{T}}, \quad \alpha \in K$
$(A + B)^{\mathrm{T}} = A^{\mathrm{T}} + B^{\mathrm{T}}$

Jeśli $A \in M_{n \times m}(K)$ oraz $B \in M_{m \times o}(K),$ to:

$(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}$

Dla macierzy kwadratowej transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu:

Reklama

$\det A^{\mathrm{T}} = \det A$
$\operatorname{tr}(A^{\mathrm{T}}) = \operatorname{tr}(A)$

Najnowsze aktualności:

Reklama

Macierz transponowana