Reklama

Macierz sprzężona

Macierz sprzężona do macierzy $A$ , oznaczana jako $\overline{A},$ to macierz, w której każdy element jest sprzężeniem odpowiadającego mu elementu macierzy $A.$

Reklama

Definicja formalna

Sprzężenie macierzy definiuje odwzorowanie:

$\overline{\;\cdot\;}: M_{n \times m}(\mathbb C) \to M_{n \times m}(\mathbb C)$

Reklama

dla danej macierzy $A = (a_{ij})$ , gdzie:

$A \mapsto \overline{A} = (\overline{a_{ij}}).$

Przykład

Przykładowa macierz:

$A = \begin{bmatrix}
2+3i & 1-2i & -1+2i \\
0 & -2 & 3+2i \\
-i & 2-i & 2+i
\end{bmatrix} \mapsto \overline{A} = \begin{bmatrix}
2-3i & 1+2i & -1-2i \\
0 & -2 & 3-2i \\
i & 2+i & 2-i
\end{bmatrix}$

Własności

Macierz sprzężona posiada następujące własności:

Reklama

$A, B \in M_{n\times m}(\mathbb C) \implies \overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$
$a \in \mathbb C \implies \overline{a \cdot A} = \overline{a} \cdot \overline{A}$
$A \in M_{n\times m}(\mathbb C} \land B \in M_{m\times p}(\mathbb C) \implies \overline{A \cdot B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$
$\overline{A^{-1}} = \overline{A}^{-1}$ dla macierzy odwracalnej $A$
$A \in M_{n\times m}(\mathbb R) \implies \overline{A} = A$
$\det \overline{A} = \overline{\det A}$ dla $A \in M_{n\times n}(\mathbb C)$

Najnowsze aktualności:

Reklama

Macierz sprzężona