Macierz ortogonalna

Macierz ortogonalna to kwadratowa macierz $A \in M_n(\mathbb{R})$ , której elementy są liczbami rzeczywistymi i spełnia warunek:

$A^T \cdot A = A \cdot A^T = I_n$

gdzie $I_n$ to macierz jednostkowa wymiaru $n$ , a $A^T$ to macierz transponowana do $A$ . Macierze ortogonalne reprezentują przekształcenia ortogonalne, takie jak obroty czy odbicia w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Warunki równoważne ortogonalności macierzy

Dla macierzy $A \in M_n(\mathbb{R})$ następujące warunki są równoważne ortogonalności:

$A$ jest macierzą ortogonalną.
Kolumny macierzy $A$ tworzą bazę ortonormalną.
Wiersze macierzy $A$ tworzą bazę ortonormalną.
$A^T A = I$ oraz $AA^T = I$ .
Macierz $A$ jest odwracalna z $A^{-1} = A^T$ .
$\sum_{j=1}^n a_{ij} a_{kj} = \delta_{ik}$ , gdzie $\delta_{ik}$ jest deltą Kroneckera.
$\forall_{x,y\in\mathbb{R}^n} (Ax) \cdot (Ay) = x \cdot y$ .
$\forall_{x\in\mathbb{R}^n} |Ax| = |x|$ .

Własności macierzy ortogonalnych

Wyznacznik macierzy ortogonalnej wynosi 1 lub -1.
Iloczyn dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną.
Macierz odwrotna do $A$ jest jej macierzą transponowaną: $A^{-1} = A^T$ .
Macierz jednostkowa jest również ortogonalna.

Grupy O(n) oraz SO(n)

Grupa ortogonalna stopnia n

Zbiór macierzy ortogonalnych stopnia n tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym, nazywaną grupą ortogonalną i oznaczaną jako $O(n)$ lub $O(n,\mathbb{R})$ . Jest to podgrupa ogólnej grupy liniowej $GL_n(\mathbb{R})$ .

Specjalna grupa ortogonalna

Specjalna grupa ortogonalna $SO(n)$ to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n o wyznaczniku równym 1. Jest to podgrupa grupy ortogonalnej $O(n)$ .

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 0.96 & -0.28 \\ 0.28 & 0.96 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Najnowsze aktualności:

Macierz ortogonalna