Macierz Hadamarda

Macierz Hadamarda to kwadratowa macierz, w której elementy to liczby +1 lub -1, a kolumny (i wiersze) stanowią pary ortogonalne. Oznacza to, że każda para wierszy reprezentuje wektory wzajemnie prostopadłe. Równoległościan stworzony przez wektory tej macierzy ma wymiar n i maksymalną objętość wśród równoległościanów utworzonych przez n wektorów o długości nie przekraczającej 1. Macierz Hadamarda o wymiarach n × n oznaczana jest jako H_n. Nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Jacques’a Hadamarda.

Przykłady macierzy Hadamarda

Oto kilka przykładów macierzy Hadamarda:

H₁ = [1]
H₂ =
$begin{bmatrix}
1 & 1 \
1 & -1
end{bmatrix}$
H₄ =
$begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \
1 & -1 & 1 & -1 \
1 & 1 & -1 & -1 \
1 & -1 & -1 & 1
end{bmatrix}$
H₈ =
$begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \
1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \
1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \
1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \
1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \
1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1
end{bmatrix}$

Macierz Hadamarda wymiaru 2ⁿ można otrzymać z macierzy H_n według wzoru:

$H_{2n} = begin{bmatrix}
H_n & H_n \
H_n & -H_n
end{bmatrix}$

Macierze H₂, H₄, H₈ zostały skonstruowane w ten sposób, jednak macierz H₁₂ nie istnieje w formie Hadamarda.

Właściwości macierzy Hadamarda

$H_n H_n^T = n I_n$ , gdzie $I_n$ to macierz jednostkowa rzędu n.
Macierz pozostaje Hadamardem po pomnożeniu dowolnego wiersza lub kolumny przez -1.
Macierz transponowana do macierzy Hadamarda także jest macierzą Hadamarda.
Macierz Hadamarda jest macierzą ortogonalną.

Bibliografia

J. Hadamard, Résolution d’une question relative aux déterminants, Bull. Sci. Math. 2, s. 240–246 (1893).
J. J. Sylvester, Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices…, Philos. Mag. and J. Sci. 34, s. 461–475 (1867).

Najnowsze aktualności:

Macierz Hadamarda