Logika trójwartościowa

Logika trójwartościowa to rozwinięcie klasycznej logiki zdań i predykatów, które wprowadza dodatkową wartość. Pierwszym systemem tej logiki jest L3 opracowany przez Jana Łukasiewicza, a w późniejszym czasie pojawiły się inne systemy, w tym prace Stephena Kleenego.

System logiki trójwartościowej L3

Łukasiewicz stworzył L3, aby formalnie wyrazić modalność w języku naturalnym. Wprowadził trzecią wartość logiczną ½, przeznaczoną dla zdań o niepewnej prawdziwości, co miało wpływ na rozwój logik wielowartościowych.

Prawdziwościowe funktory klasyczne w L3

Wartościowanie chryzypowe w L3 definiuje funkcję $v$ , która przypisuje wartości logiczne z zestawu $\{ 0, \tfrac{1}{2}, 1 \}$ . Zasady wartościowania są następujące:

$v(\alpha \vee \beta) = \max(v(\alpha), v(\beta))$
$v(\alpha \wedge \beta) = \min(v(\alpha), v(\beta))$
$v(\alpha \to \beta) = \min(1, 1 + v(\beta) – v(\alpha))$
$v(\lnot \alpha) = 1 – v(\alpha)$

Funktory modalne w L3

W L3 wprowadzono dwa funktory modalne:

Możliwość: $\lozenge$
Konieczność: $\square$

Ich wartościowanie również bazuje na funkcji $v$ , z dodatkowymi zasadami dla funktorów modalnych:

$v(\lozenge \alpha) = \frac{\min(2 \cdot v(\alpha), 1) \cdot \min(2 \cdot v(\alpha) + 1, 2)}{2}$
$v(\square \alpha) = \frac{\max(2 \cdot v(\alpha), 1) \cdot \max(2 \cdot v(\alpha) – 1, 2)}{2}$

Zbiór tautologii L3

L3 jako podrachunek klasycznej logiki zdań (KRZ) obejmuje wszystkie tautologie niemodalne KRZ, ale nie wszystkie tautologie KRZ są tautologiami L3. Przykłady to prawo wyłączonego środka oraz zasada sprzeczności.

Implikacja w L3

Implikacja w L3 była kontrowersyjna, ponieważ dwa zdania o wartości ½ łączyły się w wynik 1. Łukasiewicz wprowadził modyfikacje, aby poprawić ten aspekt, co jednak skomplikowało aksjomatyzację systemu.

Aksjomatyka L3

Przykłady aksjomatów L3 obejmują:

$\alpha \to (\beta \to \beta)$
$(\alpha \to \beta) \to ((\beta \to \gamma) \to (\alpha \to \gamma))$
$(\alpha \to (\alpha \to (\alpha \to \beta))) \to (\alpha \to (\alpha \to \beta))$

Twierdzenia dotyczące L3

W L3 obowiązują ograniczone i iterowane twierdzenia o dedukcji, a także twierdzenie o pełności, które stwierdza, że każda tautologia L3 jest tezą L3.

Najnowsze aktualności:

Logika trójwartościowa