Logarytm naturalny

Logarytm naturalny

Logarytm naturalny, znany także jako logarytm Nepera, to logarytm o podstawie $e$ (liczba Eulera), gdzie $e\; \backslash approx\; 2\{,\}718281828\dots$. Oznaczany jest jako $\backslash ln$ lub $\backslash log\_e$.

Definicje logarytmu naturalnego

Logarytm naturalny liczby $a$ można zdefiniować na dwa sposoby:

• Jako pole pod wykresem funkcji $f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}$ w przedziale od $1$ do $a$:

$\backslash ln(a)\; =\; \backslash int\backslash limits\_1^a\; \backslash frac\{1\}\{x\}\backslash \; \backslash mathrm\{d\}x.$

• Jako granicę:

$\backslash ln\; a=\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{a^x-1\}\{x\}.$

Pochodna logarytmu naturalnego

Pochodna logarytmu naturalnego jest wyrażona wzorem:

$(\backslash ln\; x)’=\backslash frac\{1\}\{x\}.$

Wartości pochodnych wyższych rzędów można określić za pomocą wzoru na $n$-tą pochodną:

$(\backslash ln\; x)^\{(n)\}=\; -1^\{(n-1)\}\backslash cdot\backslash frac\{(n-1)!\}\{x^n\}.$

Własności logarytmu naturalnego

• $\backslash ln(xy)=\backslash ln(x)+\backslash ln(y)$ dla $x,y>0$
• dla
• $\backslash frac\{h\}\{1+h\}\; \backslash leqslant\; \backslash ln(1+h)\; \backslash leqslant\; h$ dla $h>-1$
• $\backslash ln\backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{y\}\backslash right)\; =\backslash ln(x)-\backslash ln(y)$ dla $x,y>0$
• $\backslash ln\; e^x\; =\; x$
• $e^\{\backslash ln\; x\}=x$ dla $x\; >\; 0$
• $\backslash ln\; x\backslash \; =\; \backslash ln\; 10\backslash cdot\; \backslash log\; x\backslash \; \backslash approx\; 2\{,\}303\backslash \; \backslash log\; x$
• $\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{x\}=\backslash ln\; |x|+C$
• $\backslash ln(x)\backslash leqslant\; x-1$

Rozwinięcie w szereg Maclaurina

Logarytm naturalny można również wyrazić jako rozwinięcie w szereg Maclaurina:

• $\backslash ln(1+x)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^\{n+1\}\}\{n\}\; x^n\; =\; x\; –\; \backslash frac\{x^2\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{x^3\}\{3\}\; –\; \backslash ldots$ dla
• $\backslash ln(x)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^\{n+1\}\}\{n\}\; (x-1)^n$ dla