Liczby względnie pierwsze

Liczby względnie pierwsze

Liczby względnie pierwsze to liczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden. Dla liczb $a,\; b,\; c,\; \backslash dots,\; d$ zapisuje się to jako $\backslash mbox\{NWD\}(a,\; b,\; c,\; \backslash dots,\; d)\; =\; 1.$ W przypadku dwóch liczb można używać symbolu prostopadłości: $a\; \backslash perp\; b.$

Aby szybko sprawdzić, czy dwie liczby są względnie pierwsze, można zastosować algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera dla liczby całkowitej $n$ określa liczbę naturalnych liczb między 1 a $n$, które są względnie pierwsze z $n$.

Uogólnienie

W pierścieniu przemiennym z jedynką $R$ ideały $I$ i $J$ są względnie pierwsze, jeśli ich suma algebraiczna $I\; +\; J$ stanowi cały pierścień.

W dziedzinach ideałów głównych elementy $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeśli istnieje element $d$, który dzieli zarówno $a$, jak i $b$, i jest odwracalny. To pojęcie jest równoważne temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach, które nie są dziedzinami ideałów głównych, definicje te mogą się różnić.

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w $\backslash mathbb\{Z\}$, ponieważ $\backslash mathbb\{Z\}$ jest dziedziną ideałów głównych.