Liczby p-adyczne całkowite

Liczby p-adyczne całkowite

Liczby p-adyczne całkowite, gdzie p jest liczbą całkowitą większą od 1, stanowią rozszerzenie pojęcia liczb całkowitych. Gdy p jest liczbą pierwszą, liczby te stają się szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych. Liczba p-adyczna całkowita jest nieskończonym ciągiem cyfr, które mieszczą się w przedziale od 0 do p-1.

Działania na liczbach p-adycznych

Operacje arytmetyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, prowadzi się analogicznie do działań w systemach liczbowych o podstawie p. Przykład dodawania w systemie 10-adycznym:

$\backslash begin\{array\}\{r\}\; \dots 129129129\; \backslash \backslash \; \backslash underline\{+\backslash quad\; \dots 545454545\}\; \backslash \backslash \; \dots 674583674\; \backslash end\{array\}$

Liczby ujemne

Liczby ujemne w kontekście liczb p-adycznych definiuje się jako liczby, które po odjęciu od danej liczby x dają zero. Przykłady dla systemu 10-adycznego to:

• −1 = …99999
• −2 = …99998
• −10 = …99990
• −15 = …99985

Aby uzyskać przeciwną liczbę p-adyczną, należy:

1. Każdą cyfrę a_i zastąpić przez p-1-a_i.
2. Do wyniku dodać 1.

Moc zbioru liczb p-adycznych całkowitych

Zbiór liczb p-adycznych całkowitych ma moc continuum, co oznacza, że tylko znikomy ich podzbiór można zapisać w formie skończonej. W przypadku bardziej skomplikowanych liczb p-adycznych konieczne jest podawanie wzorów na elementy ciągu a_i, co nie wyczerpuje wszystkich możliwych liczb p-adycznych.

Liczby p-adyczne całkowite tworzą pierścień przemienny nad pierścieniem liczb całkowitych, z elementem neutralnym dodawania, którym jest …0000 (liczba całkowita zero).

Przykłady

• …000652 (odpowiada liczbie całkowitej 652)
• …999348 (odpowiada liczbie całkowitej -652)