Reklama

Liczby bliźniacze

Liczby bliźniacze – dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2, np.: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13.

Reklama

Skończoność zbioru par liczb bliźniaczych

Do dzisiaj nie wiadomo, czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jak sugeruje hipoteza o liczbach pierwszych bliźniaczych.
W 1919 roku norweski matematyk Viggo Brun udowodnił, że szereg odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżny:
{{Wzór| $\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)
+ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \ldots = 1{,}9021605831\dots$ }}

Własności liczb bliźniaczych

* Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3, jak i z 7. Nie istnieje inna liczba pierwsza bliźniacza z dwiema liczbami.
: Dowód:
: Istnieją trzy możliwe przypadki ciągu liczb naturalnych o różnicy 2 dla $n$ naturalnego: $(3n, 3n+2, 3n+4)$ $(3n+1, 3n+3, 3n+5)$ lub $(3n+2, 3n+4, 3n+6).$ W każdym z nich jest jedna liczba podzielna przez 3: odpowiednio: $3n,$ $3n+3=3(n+1)$ i $3n+6=3(n+2).$ Oznacza to, że aby w ciągu trzech liczb naturalnych wszystkie były pierwsze, jedna z nich musi być równa 3. Istnieją dwa takie ciągi: $(3, 5, 7),$ i $(1, 3, 5),$ lecz 1 z definicji nie jest liczbą pierwszą.
* Największe znane dziś liczby bliźniacze, każda składająca się z 388 342 cyfr, to 2996863034895·2^1290000 ± 1 znalezione w 2016 roku,
* Z wyjątkiem par 3 i 5 oraz 5 i 7, ostatnimi cyframi liczb bliźniaczych mogą być: 1 i 3 (na przykład 11 i 13), 7 i 9 (na przykład 17 i 19) oraz 9 i 1 (na przykład 29 i 31).
* Dla każdej pary liczb bliźniaczych większych lub równych 5, liczba naturalna między nimi (rozdzielająca parę) jest podzielna przez 6. Wynika to z faktu, że jest ona parzysta i ponieważ w każdej trójce kolejnych liczb jest liczba podzielna przez trzy (bo dwie pozostałe są pierwsze), to mamy również podzielność przez iloczyn liczb dwa i trzy.