Reklama

Liczba zmiennoprzecinkowa

Liczba zmiennoprzecinkowa to reprezentacja liczby rzeczywistej w notacji naukowej. Jej wartość oblicza się według wzoru: $x = S M B^E$ , gdzie:

Reklama

$S$ – znak liczby (1 lub -1),
$M$ – znormalizowana mantysa (liczba ułamkowa),
$B$ – podstawa systemu liczbowego (2 dla systemów komputerowych),
$E$ – wykładnik, liczba całkowita.

Mantysa jest znormalizowana i należy do przedziału $[1, B)$ . Liczby zmiennoprzecinkowe mają ograniczoną dokładność i mieszczą się w skończonym zbiorze wartości.

Zakres reprezentacji

Zakres wartości reprezentowanych w systemie zmiennoprzecinkowym określają wartości maksymalne i minimalne dla mantysy i wykładnika:

Reklama

$E_\min = -B^{n+1}, E_\max = B^n – 1$ ,
$M_\min = 1, M_\max = B – B^{-(m-1)}$ .

Wartości te pozwalają określić minimalną i maksymalną reprezentowaną liczbę dodatnią: $x_\min = M_\min B^{E_\min}, x_\max = M_\max B^{E_\max}$ .

Błędy w reprezentacji

Błąd względny reprezentacji liczby zmiennoprzecinkowej wynosi $\frac{1}{2 B^{m-1}}$ . W przypadku gdy $|x|, występuje niedomiar (underflow), a gdy |x|>M_\max B^{E_\max}, mamy do czynienia z nadmiarem (overflow).$

Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych

Arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest łączna ani rozdzielna. Przy obliczeniach mogą występować zaokrąglenia, nieprawidłowe operacje, przepełnienie i niedomiar.

Przykładowe operacje:

$x_1 + x_2 = (M_1 + M_2 B^{E_2 – E_1}) B^{E_1}$ ,
$x_1 \cdot x_2 = (S_1 S_2) (M_1 M_2) B^{E_1 + E_2}$ .

Implementacje sprzętowe

Liczby zmiennoprzecinkowe w implementacjach sprzętowych wyrażane są w systemie binarnym (B = 2). Standard IEEE 754 definiuje klasy liczb: pojedynczej precyzji (single) i podwójnej precyzji (double).