Lemat Kuratowskiego-Zorna

Lemat Kuratowskiego-Zorna

Lemat Kuratowskiego-Zorna, znany również jako lemat Zorna, jest twierdzeniem w teorii mnogości, które dostarcza warunku wystarczającego do stwierdzenia istnienia elementu maksymalnego w zbiorze częściowo uporządkowanym. Sformułowany został przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935 roku. Lemat ten jest równoważny aksjomatowi wyboru, co oznacza, że może być dowodzony przy użyciu tego aksjomatu i odwrotnie.

Motywacja

W matematyce często zachodzi potrzeba wykazania istnienia obiektu, który jest elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym. Lemat Kuratowskiego-Zorna pozwala na uproszczenie dowodów, eliminując konieczność ciągłego stosowania indukcji pozaskończonej, poprzez określenie warunków, które muszą być spełnione, aby można było skorzystać z tego typu rozumowania.

Twierdzenie

Zbiór $P$ jest częściowo uporządkowany, jeśli relacja $\backslash preccurlyeq$ jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Elementy zbioru $P$ są porównywalne poprzez relację, a podzbiór $C$ nazywa się liniowo uporządkowanym, jeśli dowolne jego dwa elementy można porównać. Element $u$ jest ograniczeniem górnym łańcucha $C$, jeśli jest późniejszy od wszystkich elementów tego łańcucha.

Zbiór częściowo uporządkowany jest łańcuchowo zupełny, jeśli każdy łańcuch ma ograniczenie górne. Element $m$ jest maksymalny w zbiorze $P$, jeśli dla każdego $x\; \backslash in\; P$ spełnione jest $m\; \backslash preccurlyeq\; x$ implikujące $x\; =\; m$.

Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna

W dowolnym niepustym zbiorze łańcuchowo zupełnym istnieje co najmniej jeden element maksymalny.

Wniosek

W każdej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, gdzie suma każdego niepustego łańcucha należy do tej rodziny, istnieje element maksymalny.

Uwagi

Lemat Kuratowskiego-Zorna znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki, w tym w analizie, topologii i teorii kategorii, gdzie jest używany do dowodów istnienia obiektów matematycznych.

Bibliografia

• Krzysztof Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press, 1997.