Kwaterniony

Kwaterniony

Kwaterniony, znane także jako czwarki Hamiltona, to struktura algebraiczna będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych, wprowadzona przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 roku. Służą do opisu mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej i są uważane za jedną z trzech skończonych wymiarów pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste.

Konstrukcja kwaternionów

Kwaterniony można konstruować na kilka sposobów:

• Kwaternion jako suma algebraiczna: ma postać $q\; =\; a\; e\; +\; b\; i\; +\; c\; j\; +\; d\; k$, gdzie $a,\; b,\; c,\; d\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ i $e,\; i,\; j,\; k$ to jednostki urojone.
• Kwaternion jako macierz zespolona: definiowany jako macierz , gdzie $z,\; w\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$.
• Kwaternion jako para liczb zespolonych: zapisywany jako $q\; =\; (z,\; w)$.
• Kwaternion jako macierz rzeczywista: zapisany w postaci .

Własności algebraiczne

Kwaterniony mają następujące właściwości:

• Działania dodawania są łączne i przemienne.
• Działania mnożenia są łączne, ale nieprzemienne.
• Każdy niezerowy kwaternion ma element odwrotny.

Sprzężenie i wyznacznik

Sprzężenie kwaternionu definiuje się jako:

• W postaci macierzowej: .
• Wyznacznik kwaternionu: $\backslash det\; q\; =\; |z|^2\; +\; |w|^2$.

Zastosowania kwaternionów

Kwaterniony znajdują zastosowanie w:

• Grafice komputerowej – do obrotów w przestrzeni 3D
• Mechanice niebieskiej – do linearyzacji równań różniczkowych
• Geometrii różniczkowej – konstrukcja wiązek wektorowych

Geometryczna interpretacja

Kwaterniony jednostkowe opisują obroty w przestrzeni trójwymiarowej, co jest związane z grupą obrotów $SO(3)$. Przekształcenie kwaternionu $h$ definiuje obrót według wzoru: $T\_h(x)\; =\; h\; x\; h^\{-1\}$.

Podsumowanie

Kwaterniony to potężne narzędzie matematyczne wykorzystywane w wielu dziedzinach, od grafiki komputerowej po teorie liczb, dzięki swoim unikalnym właściwościom i zastosowaniom w przestrzeni trójwymiarowej.