Kwantyl

Kwantyl – Definicja i Zastosowanie

Kwantyl to kluczowe pojęcie w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa, definiowane jako wartość zmiennej losowej, która dzieli dane na określone części. Dla kwantyla rzędu $p$ (gdzie $0\; \backslash leqslant\; p\; \backslash leqslant\; 1$) w rozkładzie empirycznym $P\_X$ zmiennej losowej $X$, zachodzą następujące nierówności:

• $P\_X((-\backslash infty,\; x\_p])\; \backslash geqslant\; p$
• $P\_X([x\_p,\backslash infty))\; \backslash geqslant\; 1-p$

Oznacza to, że wartość $x\_p$ jest taka, że wartości mniejsze lub równe od $x\_p$ występują z prawdopodobieństwem co najmniej $p$, a wartości większe lub równe z prawdopodobieństwem co najmniej $1-p$.

Rodzaje Kwantyli

Wyróżniamy kilka typów kwantyli:

• Mediana (1/2) – dzieli dane na dwie równe części.
• Kwartyle (1/4, 2/4, 3/4) – dzielą dane na cztery części.
• Kwintyle (1/5, 2/5, 3/5, 4/5) – dzielą dane na pięć części.
• Decyle (1/10, 2/10,…, 9/10) – dzielą dane na dziesięć części.
• Percentyle (1/100, 2/100,…, 99/100) – dzielą dane na sto części.

Przykład Kwantyli

Przykładem zastosowania kwantyli może być analiza ilorazu inteligencji (IQ) w próbie 20 osób. Wyniki w kolejności rosnącej to:

74, 80, 80, 85, 92, 94, 97, 98, 98, 100, 101, 101, 104, 104, 106, 109, 112, 115, 128, 137.

Obliczając kwantyle:

• Q1 (1. kwartyl): przedział $\backslash langle\; 92,\; 94\; \backslash rangle$
• Q2 (mediana): przedział $\backslash langle\; 100,\; 101\; \backslash rangle$ (mediana = 100,5)
• Q3 (3. kwartyl): przedział $\backslash langle\; 106,\; 109\; \backslash rangle$

Pokrewne Pojęcia

Rozstęp kwartylny to różnica między trzecim (Q3) a pierwszym (Q1) kwartylem, będąca miarą rozrzutu danych, odporną na wartości odstające. W statystyce używa się także wykresów kwantyl-kwantyl do porównywania rozkładów zmiennych losowych. Wykres ten umożliwia ocenę, czy dane mają zadany rozkład, a odchylenia od prostej wskazują na różne charakterystyki rozkładu.