Kurtoza

Kurtoza

Kurtoza, pochodząca z greckiego słowa „wydęty”, jest miarą kształtu rozkładu wartości cechy statystycznej. Najczęściej definiuje się ją jako kurtozę nadwyżkową (współczynnik ekscesu), która jest określona wzorem:

$\backslash mbox\{Kurt\}\_E\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_4\}\{\backslash sigma^4\}\; –\; 3$

gdzie $\backslash mu\_4$ to czwarty moment centralny, a $\backslash sigma$ to odchylenie standardowe.

Interpretacja

Kurtoza nadwyżkowa jest bardziej praktyczna, ponieważ:

• Kurtoza normalnego rozkładu wynosi 0.
• Gdy $Y$ jest sumą $n$ niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, to: $\backslash mbox\{Kurt\}\_E[Y]\; =\; \backslash frac\{\backslash mbox\{Kurt\}\_E[X]\}\{n\}$.

Kurtoza nie mierzy „spłaszczenia” ani „spiczastości” rozkładu, lecz intensywność wartości skrajnych, co oznacza, że koncentruje się na „ogonach” rozkładu, a nie na jego „czubku”.

Rodzaje rozkładów względem kurtozy

• Mezokurtyczne (Kurt_E = 0) – intensywność wartości skrajnych jest podobna do rozkładu normalnego.
• Leptokurtyczne (Kurt_E > 0) – intensywność wartości skrajnych jest większa niż w rozkładzie normalnym.
• Platykurtyczne (Kurt_E < 0) – intensywność wartości skrajnych jest mniejsza niż w rozkładzie normalnym.

Obliczanie kurtozy

Kurtoza nadwyżkowa z próby oblicza się według wzoru:

$\backslash mbox\{Kurt\}\_E\; =\; \backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{n\}\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; (x\_i\; –\; \backslash mu)^4\}\}\{\backslash sigma^4\}\; –\; 3$

gdzie $x\_i$ to wartości cechy, $\backslash mu$ to wartość oczekiwana, $\backslash sigma$ to odchylenie standardowe, a $n$ to liczebność próby. Istnieje również nieobciążony estymator kurtozy.

Kurtoza w rozkładzie normalnym

W rozkładzie normalnym kurtoza wynosi:

$\backslash mbox\{Kurt\}\_E\; =\; 0$

Podsumowanie

Kurtoza jest istotnym wskaźnikiem w statystyce, który informuje o intensywności wartości skrajnych w rozkładzie. Rozróżnia się różne typy rozkładów na podstawie wartości kurtozy, co jest kluczowe w analizie danych i wnioskowaniu statystycznym.