Kula

Kula – definicja i właściwości

Kula jest uogólnieniem pojęcia koła na więcej wymiarów, definiowana w kontekście przestrzeni metrycznych. W danej przestrzeni metrycznej $(X,\backslash rho)$ kula o środku $c$ i promieniu $r$ jest zbiorem punktów spełniających warunek:

$\backslash overline\{K\}\_\{c,r\}\; =\; \backslash \{p:\; \backslash rho(p,c)\; \backslash leqslant\; r\backslash \}$.

W zależności od definicji, rozróżniamy kulę domkniętą oraz kulę otwartą. Kula otwarta definiowana jest jako:

.

Intuicyjne zrozumienie kuli

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, kula jest częścią przestrzeni ograniczoną sferą. Współrzędne punktów kuli wyrażają się nierównością:

$(x-x\_0)^2+(y-y\_0)^2+(z-z\_0)^2\backslash leqslant\; r^2$,

gdzie $(x\_0,y\_0,z\_0)$ to środek kuli. W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej kula o środku $(s\_1,\; s\_2,\; \backslash ldots,\; s\_n)$ i promieniu $r$ jest opisana poprzez:

$(x\_1-s\_1)^2+(x\_2-s\_2)^2+\backslash ldots+(x\_n-s\_n)^2\backslash leqslant\; r^2.$

Inne metryki i przykłady

• W metryce euklidesowej kula w przestrzeni dwuwymiarowej odpowiada kołu, a w jednowymiarowej – odcinkowi.
• W przestrzeni z metryką Manhattan, kula jest zbiorem punktów spełniających:

$\backslash left|x\_1\; –\; x\_2\backslash right|\; +\; \backslash left|y\_1\; –\; y\_2\backslash right|\; \backslash leqslant\; r.$

• W alfabecie łacińskim, kula o promieniu 1 z środkiem w literze $H$ obejmuje litery $\backslash \{G,H,I\backslash \}$.

Powiązane pojęcia

W kontekście kuli wyróżniamy:

• Cięciwa kuli – odcinek o końcach na brzegu kuli.
• Średnica kuli – cięciwa przechodząca przez środek kuli.
• Koło wielkie – koło o promieniu kuli, ze środkiem w jej centrum.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej

Objętość n-wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu $r$ wyraża się wzorem:

$V\_n=\backslash frac\{\backslash pi^\{\backslash frac\{n\}\{2\}\}\}\; \{\backslash Gamma\; (\backslash frac\{n\}\{2\}+1)\}\backslash cdot\; r^n.$

Specjalne przypadki:

• Objętość 3-wymiarowej kuli: $V=\backslash frac\{4\}\{3\}\backslash pi\; r^3$.
• Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: $S=4\backslash pi\; r^2$.

Uogólnienie topologiczne

W topologii kula definiowana jest jako rozmaitość topologiczna, homeomorficzna z kulą geometryczną.