Kryterium d’Alemberta

Kryterium d’Alemberta (także kryterium ilorazowe d’Alemberta) – jedno z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich udowodnione przez d’Alemberta.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy
: {{wzór|$\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; a\_k$|A}}
o wyrazach dodatnich oraz niech
: $D\_n\; =\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}\backslash qquad\; (n\backslash in\; \backslash mathbb\; N).$
* Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego spełniona jest nierówność
:: $D\_n\; \backslash leqslant\; r,$
: to szereg jest zbieżny.
* Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność
:: $D\_n\; >\; 1,$
: to szereg jest rozbieżny.

Wersja graniczna kryterium

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica
: $D=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}D\_n,$
to
* gdy szereg jest zbieżny, oraz
* gdy $D>1,$ szereg jest rozbieżny.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy
: $\backslash limsup\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; D\_n\; =\; 1.$
Istotnie, rozważmy ciągi
: $a\_n=\backslash frac\{1\}\{n\},\; \backslash ;\; b\_n=\backslash frac\{1\}\{n^2\}.$
Wówczas
: $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}=\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{b\_\{n+1\}\}\{b\_n\}\; =1.$
Jednak szereg jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a drugi z szeregów jest zbieżny (zob. problem bazylejski).

Dowód

Załóżmy, że dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego spełniona jest nierówność
: $D\_n\; \backslash leqslant\; r.$
Stąd
: $a\_\{n+1\}\backslash leqslant\; r\backslash cdot\; a\_n$
dla każdego $n\backslash geqslant\; N.$ Oznacza to, że dla każdego $n>\; N$ spełniona jest nierówność
: $a\_\{N+n\}\backslash leqslant\; r^n\backslash cdot\; a\_N.$
Szereg
: $a\_N+r\backslash cdot\; a\_N+r^2\backslash cdot\; a\_N+r^3\; a\_N+\backslash ldots$
jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie Ponadto, majoryzuje on szereg
: $a\_N+a\_\{N+1\}+a\_\{N+2\}+a\_\{N+3\}+\backslash ldots$
Na mocy kryterium porównawczego szereg jest zatem zbieżny.
W przypadku gdy istnieje taka liczba $N,$ że nierówność
: $\backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}\backslash geqslant\; 1$
zachodzi dla wszystkich $n\; \backslash geqslant\; N,$ szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, tj. ciąg $(a\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ nie jest zbieżny do 0. W szczególności, szereg jest rozbieżny.

Przykłady zastosowania

* Kryterium d’Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny $a\_n$ szeregu zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład
:: $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{n!\}\{n^n\}.$
: Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci
:: $a\_n=\backslash frac\{n!\}\{n^n\}.$
: Mamy
:: $D\_n\; =\; \backslash frac\{\backslash frac\{(n+1)!\}\{(n+1)^\{n+1\}\}\}\{\backslash frac\{n!\}\{n^n\}\}\; =\; \backslash frac\{(n+1)!\}\{n!\}\backslash cdot\backslash frac\{n^n\}\{(n+1)^\{n+1\}\}\; =\; \backslash frac\{n!(n+1)\}\{n!\}\backslash cdot\backslash frac\{n^n\}\{(n+1)^n(n+1)\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{n\}\{n+1\}\backslash right)^n\; =\; \backslash frac\{1\}\{(1+\backslash frac\{1\}\{n\})^n\}.$
: Zatem korzystając z granicy
:: $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)^n=e,$
: otrzymujemy
::
: co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.
* Niech
:: $a\_n=\backslash frac\{1\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; 5\backslash cdot\backslash ldots\backslash cdot\; (2n-1)\}\{3^n\}=\backslash frac\{(2n)!\}\{6^nn!\}\backslash quad\; (n\backslash in\; \backslash mathbb\{N\}).$
: Wówczas
:: $D\_n\; =\; \backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}=\backslash frac\{(2n+2)!\}\{6^\{n+1\}(n+1)!\}\backslash cdot\; \backslash frac\{6^nn!\}\{(2n)!\}=\backslash frac16\backslash cdot\backslash frac\{(2n+1)(2n+2)\}\{n+1\}\backslash \; \backslash xrightarrow[n\backslash to\backslash infty]\{\}\backslash infty.$
: Oznacza to, że szereg
:: $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; 5\backslash cdot\backslash ldots\backslash cdot\; (2n-1)\}\{3^n\}$
: jest rozbieżny.

Przypisy

Bibliografia

*
*
*
*

Literatura dodatkowa

*

Linki zewnętrzne

* Piotr Stachura, [https://www.youtube.com/watch?v=YNqAUrIKPIo Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów], kanał Khan Academy na YouTube, 19 lipca 2016 [dostęp 2024-06-22].
* [dostęp 2022-06-20].
Kategoria:Szeregi
d’Alemberta