Komutator (matematyka)

Komutator

Komutator jest wskaźnikiem stopnia nieprzemienności działania dwuargumentowego. Jego definicje różnią się w teorii grup oraz teorii pierścieni.

Teoria grup

W teorii grup, komutator dwóch elementów $g$ i $h$ grupy $G$ definiuje się jako:

$[g,\; h]\; =\; g^\{-1\}h^\{-1\}gh.$

Jest równy elementowi jednostkowemu grupy, gdy $g$ i $h$ komutują, co oznacza, że $gh\; =\; hg$. Podgrupa generowana przez wszystkie komutatory nosi nazwę komutanta.

Tożsamości

W kontekście komutatorów obowiązują następujące tożsamości:

• $[y,x]\; =\; [x,y]^\{-1\}.$
• $\backslash left[[x,\; y^\{-1\}],\; z\backslash right]^y\; \backslash cdot\; \backslash left[[y,\; z^\{-1\}],\; x\backslash right]^z\; \backslash cdot\; \backslash left[[z,\; x^\{-1\}],\; y\backslash right]^x\; =\; 1.$
• $[x\; y,\; z]\; =\; [x,\; z]^y\; \backslash cdot\; [y,\; z].$
• $[x,\; y\; z]\; =\; [x,\; z]\; \backslash cdot\; [x,\; y]^z.$

Teoria pierścieni

W teorii pierścieni, komutator dwóch elementów $a$ i $b$ definiuje się jako:

$[a,\; b]\; =\; ab\; –\; ba.$

Jest równy zeru, gdy $a$ i $b$ komutują. Komutatory są także używane w algebrze liniowej oraz w przekształceniach algebr łącznych w algebry Liego.

Własności komutatorów w algebrze Liego

Komutator w algebrze Liego ma następujące własności:

• $[A,\; A]\; =\; 0,$
• $[A,\; B]\; =\; –\; [B,\; A],$
• $[A,\; [B,\; C]]\; +\; [B,\; [C,\; A]]\; +\; [C,\; [A,\; B]]\; =\; 0.$

Komutator w fizyce

W fizyce kwantowej, komutator stosuje się do:

• Procedury kwantowania kanonicznego, gdzie zastępuje nawiasy Poissona komutatorami.
• Druga kwantyzacja, w której operatory kreacji i anihilacji cząstek spełniają reguły komutacji lub antykomutacji.
• Definicji funkcji Greena dla bozonów i fermionów.

Antykomutator

Antykomutator definiuje się jako:

$[a,\; b]\_+\; =\; ab\; +\; ba.$

W kontekście fermionów, komutatory spełniają zasady antykomutacyjne, co wynika z zakazu Pauliego, natomiast bozony spełniają reguły komutacji.