Kod uzupełnień do dwóch

Kod Uzupełnień do Dwóch (U2)

Kod Uzupełnień do Dwóch (U2) to popularny system reprezentacji liczb całkowitych w systemach cyfrowych, który umożliwia wykonywanie operacji dodawania i odejmowania jak dla liczb binarnych bez znaku. Wartość przeciwną liczby uzyskuje się przez odjęcie jej od 2 dla jednobitowych liczb lub od 2 do potęgi n dla n-bitowych. U2 koduje liczby w przedziale od $-2^\{n-1\}$ do $2^\{n-1\}-1$, co dla 8-bitowej reprezentacji daje zakres od -128 do 127.

Zapis Liczb w U2

W systemie U2 najstarszy bit (bit znaku) ma wagę $-2^\{n-1\}$. Wartość dziesiętna liczby może być wyrażona wzorem:

$-a\_\{n-1\}\; \backslash times\; 2^\{n-1\}\; +\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-2\}\; a\_i\; \backslash times\; 2^i.$

Wartość bitu znaku wskazuje, czy liczba jest dodatnia (bit = 0) czy ujemna (bit = 1).

Liczba Przeciwna

Aby uzyskać liczbę przeciwną w U2, należy wykonać dwie operacje:

• Inwersja bitów (0 na 1 i odwrotnie).
• Zwiększenie wyniku o 1.

Operacje Aritmetyczne

Dodawanie i Odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie w U2 wykonuje się jak dla liczb binarnych. Jeśli przeniesienie wystąpi tylko na bit znaku, mamy do czynienia z nadmiarem, co oznacza, że wynik nie mieści się w zakodowanym zakresie.

Mnożenie

Mnożenie w U2 można realizować za pomocą metody Bootha, która polega na analizie par bitów mnożnika i wykonywaniu odpowiednich operacji (dodawania lub odejmowania) w zależności od wartości tych par.

Dzielenie

W U2 dzielenie można przeprowadzić różnymi metodami, m.in. metodą porównawczą, która angażuje przesunięcie reszty częściowej oraz porównanie jej z dzielnikiem, oraz metodą nierestytucyjną, gdzie analizowane są znaki dzielnej i dzielnika.

Przykłady

Przykład zamiany liczby 74 na U2:

$74\_\{10\}\; =\; 01001010\_\{U2\}$

Inwersja i dodanie 1 dla uzyskania liczby -74:

$10110110\_\{U2\}\; =\; -74\_\{10\}$

Przykład dodawania:

$-11\backslash frac\{3\}\{4\}\; +\; -7\backslash frac\{2\}\{4\}\; =\; -19\backslash frac\{1\}\{4\}\; =\; 10110011\_\{U2\}$

Przykład dzielenia:

$P\; =\; -\backslash frac\{15\}\{16\}\; =\; 1.0001\_\{U2\}$

Wyniki operacji w kodzie U2 można weryfikować, przekształcając je do formatu znak-moduł oraz sprawdzając poprawność obliczeń.