Klasyczny oscylator harmoniczny

Klasyczny oscylator harmoniczny

Klasyczny oscylator harmoniczny to model fizyczny opisujący układ w potencjale kwadratowym, definiowany równaniem siły przeciwnie skierowanej do wychylenia od położenia równowagi:

$U=\backslash frac\{m\backslash omega\_0^2\}\{2\}\backslash cdot\; x^2,$
$\backslash vec\; F\; =\; –\; k\; \backslash vec\; x.$

Definicja oscylatora harmonicznego

Jednowymiarowy oscylator harmoniczny to układ, którego zachowanie opisuje równanie:

$a(t)+\; \backslash omega\_0^2\; x(t)\; =\; 0.$

Można je zapisać jako:

$\backslash frac\{d^2x(t)\}\{dt^2\}\; +\; \backslash omega\_0^2\; x(t)\; =\; 0.$

Rozwiązanie równania oscylatora

Rozwiązania równania oscylatora harmonicznego mogą być przedstawione w kilku postaciach:

• $x(t)=\; A\; \backslash sin(\backslash omega\_0\; t)\; +B\; \backslash cos(\backslash omega\_0\; t)$
• $x(t)=\; C\; \backslash sin(\backslash omega\_0\; t+\backslash varphi)$
• $x(t)=\; D\; \backslash cos(\backslash omega\_0\; t+\backslash varphi’)$
• $x(t)=\; F\; e^\{\; i\; \backslash omega\_0\; t\}\; +\; G\; e^\{\; –\; i\; \backslash omega\_0\; t\}$

Okres drgań $T$ oraz częstotliwość $\backslash nu$ są określone jako:

$T=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash omega\_0\},\; \backslash quad\; \backslash nu=\backslash frac\{\backslash omega\_0\}\{2\backslash pi\}.$

Lagranżjan i Hamiltonian oscylatora

Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać:

$\backslash mathcal\{L\}=\; \backslash frac\{m\backslash dot\; q^2\}\{2\}-\backslash frac\{m\backslash omega\_0^2q^2\}\{2\},$

natomiast Hamiltonian to:

$H=\backslash frac\{p^2\}\{2m\}+\backslash frac\{m\backslash omega\_0^2q^2\}\{2\}.$

Przykłady oscylatorów

Wahadło matematyczne

Równanie ruchu wahadła matematycznego dla małych kątów przyjmuje formę oscylatora harmonicznego:

$\backslash ddot\; \backslash alpha\; +\; \backslash frac\; g\; l\; \backslash alpha\; =\; 0.$

Ciało na sprężynie

Ciało poruszające się na sprężynie bez tarcia również wykonuje oscylacje harmoniczne, gdzie siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia:

$\backslash vec\; F=\; -k\backslash cdot\; \backslash vec\; x.$

Oscylator harmoniczny tłumiony i wymuszony

W rzeczywistości występują siły tłumiące, co prowadzi do równania:

$\backslash frac\{d^2x\}\{dt^2\}\; +\; 2\; \backslash beta\; \backslash frac\{dx\}\{dt\}\; +\; \backslash omega\_o^2\; x\; =\; 0.$

Oscylator może być także wymuszany przez siły zewnętrzne, co zmienia charakter jego drgań:

$\backslash frac\{d^2x\}\{dt^2\}\; +\; 2\; \backslash beta\; \backslash frac\{dx\}\{dt\}\; +\; \backslash omega\_0^2\; x\; =\; A\; \backslash cos(\backslash omega\; t).$

W przypadku braku siły wymuszającej oraz tłumienia, równanie redukuje się do prostego oscylatora harmonicznego.