Iloraz różnicowy

Iloraz różnicowy – opisuje przyrost funkcji na danym przedziale.

Definicja

Dla funkcji $f\colon X \to Y$ oraz punktów $x_1, x_2 \in X$ iloraz różnicowy definiuje się jako:
$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$
Można również stosować oznaczenia $\frac{\Delta f}{\Delta x},$ gdzie $\Delta f$ to licznik, a $\Delta x$ to mianownik.

Przykład

Dla funkcji $f(x) = x^3$ i punktów $x_1=0$ , $x_2=1$ , iloraz różnicowy wynosi:
$\frac{1^3-0^3}{1-0} = 1.$
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego w punkach $x_1$ i $x_2$ przedstawia prostą $PQ$ , nazywaną sieczną.

Jeśli $f$ opisuje zmianę drogi ciała w czasie, iloraz różnicowy funkcji $f$ dla punktów $x_1$ i $x_2$ określa średnią prędkość ciała w tym czasie.

Związek z pochodną

Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie $x_0$ definiowana jest jako granica ilorazu różnicowego:
$f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}.$

Uogólnienia

Iloraz różnicowy $N$ -tego rzędu funkcji $f\colon X \to Y$ w punktach $x_0, x_1, \ldots, x_N \in X$ definiuje się jako:
$f[x_0, x_1, \ldots, x_N] := \sum\limits_{i=0}^N \frac{f(x_i)}{\prod\limits_{j=0 \atop j \neq i}^N (x_i-x_j)}.$
Zachodzi również związek rekurencyjny:
$\begin{cases}
f[x_i]=f(x_i) \quad (0 \leqslant i \leqslant N) \\
f[x_k, x_{k+1}, \ldots, x_{k+m}] = \frac{f[x_{k+1}, \ldots, x_{k+m}] – f[x_k, \ldots, x_{k+m-1}]}{x_{k+m} – x_k} \quad (0 \leqslant k < k+m \leqslant n)
\end{cases}.$

Przypisy

Kategoria: Analiza matematyczna, Kategoria: Metody numeryczne.

Najnowsze aktualności: