Reklama

Iloczyn Kroneckera

Iloczyn Kroneckera, znany także jako iloczyn tensorowy, macierzy $A\in M_{m\times n}$ oraz $B\in M_{k\times l}$ , tworzy macierz o wymiarze $mk \times nl$ . Można go zapisać jako:

Reklama

$A \otimes B = \begin{bmatrix}
a_{11}B & a_{12}B & \cdots \\
a_{21}B & a_{22}B \\
\vdots & & \ddots
\end{bmatrix}.$

Iloczyn tensorowy można stosować do wektorów kolumnowych, wierszowych oraz ich kombinacji, a macierze $A$ i $B$ mogą mieć dowolne rozmiary, w przeciwieństwie do zwykłego iloczynu macierzy, gdzie liczba kolumn pierwszej macierzy musi odpowiadać liczbie wierszy drugiej.

Reklama

Iloczyn tensorowy wektorów

Wynik iloczynu tensorowego wektorów zależy od ich typu:

Wektory kolumnowe: $v \otimes w = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$
Wektory wierszowe: $v \otimes w = \begin{bmatrix} 1, 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1, 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1, 0, 0, 0 \end{bmatrix}.$
Wektor kolumnowy i wierszowy: $v \otimes w = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1, 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1, 0 \\ 0, 0 \end{bmatrix}.$

Iloczyn tensorowy macierzy

Iloczyn tensorowy dwóch macierzy, na przykład:

$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0 & 5 \\ 6 & 7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & 5 & 0 & 10 \\
6 & 7 & 12 & 14 \\
0 & 15 & 0 & 20 \\
18 & 21 & 24 & 28
\end{bmatrix}.$

Własności iloczynu tensorowego

Nieprzemienność: $A \otimes B \ne B \otimes A.$
Mnożenie mieszane: $(A \otimes B) \cdot (C \otimes D) = (A \cdot C) \otimes (B \cdot D).$
Odwrotność: $(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}.$
Rozdzielność względem dodawania: $A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C.$
Transpozycja: $(A \otimes B)^T = A^T \otimes B^T.$