Hipoteza Riemanna

Hipoteza Riemanna – sformułowana w 1859 roku hipoteza, dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce obok hipotezy Goldbacha. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą ½. Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki – w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Jest jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya w roku 2000. Clay Mathematics Institute (CMI) ufundował nagrodę w wysokości miliona dolarów za dowód lub obalenie tej hipotezy. Hipoteza Riemanna jest ósmym problemem z listy problemów Hilberta.

Sformułowanie hipotezy

Dla liczb zespolonych s spełniających warunek Re s > 1 funkcja dzeta określona jest wzorem:
: $\backslash zeta(s)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^s\}.$
Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną, nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Wtedy funkcja Dzeta Riemanna spełnia równanie funkcyjne:
: $\backslash zeta(s)\; =\; 2^s\backslash pi^\{s-1\}\backslash \; \backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\; s\}\{2\}\backslash right)\backslash \; \backslash Gamma(1-s)\backslash \; \backslash zeta(1-s),$
gdzie $\backslash mathrm\{\backslash Gamma\}(s)$ reprezentuje funkcję gamma. Dzięki temu rozszerzeniu funkcja Dzeta ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, …, wynikające z zerowania się funkcji sinus. Uwaga: dla s = 2, 4,… stosuje się pierwotną postać szeregu zbieżnego w tym przypadku do od lat znanych wartości (różnych od zera) pokazanych choćby przez Eulera. Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej Re s = ½, zwanej prostą krytyczną. G.H. Hardy oraz J.E. Littlewood udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele miejsc zerowych funkcji dzeta na prostej krytycznej. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% miejsc zerowych leży na prostej krytycznej (Conrey, 1989).

Hipoteza Riemanna a teoria liczb

Prawdziwość hipotezy Riemanna pozwalałaby na wzmocnienie pewnych nierówności dotyczących liczb pierwszych oraz równości asymptotycznych. Okazuje się na przykład, że hipoteza Riemanna jest równoważna poniższej równości (π(n) to liczba liczb pierwszych w przedziale od 1 do n), będącej wzmocnieniem twierdzenia o liczbach pierwszych:
: $\backslash pi(n)\; =\; \backslash mathrm\{Li\}(n)\; +\; O\backslash left(\backslash sqrt\{n\}\; \backslash ln\; n\backslash right)$
gdzie $\backslash mathrm\{Li\}(n)$ oznacza tzw. resztę z logarytmu całkowego, a do zapisu użyto tzw. dużego O.

Przypisy

Linki zewnętrzne

; Polskojęzyczne
* Tomasz Miller, [https://www.youtube.com/watch?v=H7jdq0elNoY Czego uczy nas hipoteza Riemanna?], kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2021-09-15].
; Anglojęzyczne
*
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Riemann_hypotheses Riemann hypotheses] , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-06-18].
* Alex Kontorovich, [https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY The Riemann Hypothesis, Explained], kanał Quanta Magazine na YouTube, 4 stycznia 2021 [dostęp 2023-06-08].
Kategoria:Analityczna teoria liczb
R
Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb
Kategoria:Problemy Hilberta
Kategoria:Bernhard Riemann