Hipocykloida

Hipocykloida

Hipocykloida to krzywa płaska, którą zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu wewnątrz okręgu o większym promieniu. Jest to szczególny przypadek hipotrochoidy, a jej kształt zależy od ilorazu promieni okręgów, R i r.

Opis matematyczny

Hipocykloidę można opisać za pomocą równań parametrycznych:

• $x\; =\; (R\; –\; r)\; \backslash cos(t)\; +\; r\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{R\; –\; r\}\{r\}\; t\backslash right)$
• $y\; =\; (R\; –\; r)\; \backslash sin(t)\; –\; r\; \backslash sin\backslash left(\backslash frac\{R\; –\; r\}\{r\}\; t\backslash right)$

Przykłady hipocykloid

Poniżej przedstawiono kilka przykładów hipocykloid dla różnych wartości ilorazu $\backslash tfrac\{R\}\{r\}$:

• Hipocykloida $\backslash tfrac\{R\}\{r\}\; =\; 3$ – znana jako deltoida.
• Hipocykloida $\backslash tfrac\{R\}\{r\}\; =\; 4$ – znana jako asteroida.
• Dla $\backslash tfrac\{R\}\{r\}\; =\; 2$ hipocykloida redukuje się do średnicy dużego okręgu, co jest znane jako twierdzenie Kopernika, umożliwiające zamianę ruchu obrotowego na posuwisto-zwrotny.

Jeżeli stosunek $\backslash tfrac\{R\}\{r\}$ jest liczbą niewymierną, hipocykloida staje się linią otwartą, a zbiór jej wierzchołków tworzy gęsty podzbiór okręgu. Przykłady takiej sytuacji przedstawione są dla parametru $t$ w przedziałach [−10, 100] oraz [−10, 1000].