Hiperboloida

w Ciechanowie]]
Hiperboloida – nieograniczona, nierozwijalna powierzchnia drugiego stopnia (kwadryka), powstała przez obrót hiperboli wokół osi symetrii hiperboli rozłącznej z nią (hiperboloida jednopowłokowa) lub osi prostopadłej do poprzedniej, przechodzącej przez oba wierzchołki hiperboli (hiperboloida dwupowłokowa), a także każda otrzymana z takiej przez przekształcenie afiniczne przestrzeni. Każda hiperboloida ma środek symetrii oraz co najmniej trzy osie i trzy płaszczyzny symetrii.

Równania hiperboloidy

Można ją opisać wzorem
: $\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; –\; \backslash frac\{z^2\}\{c^2\}=1$  (hiperboloida jednopowłokowa)
lub
: $\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; –\; \backslash frac\{z^2\}\{c^2\}=-1$  (hiperboloida dwupowłokowa).
Równanie hiperboloidy można sparametryzować poprzez funkcję $f\backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}^2\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^3$ daną wzorem:
: $f(s,t)=\; \backslash left(a\; \backslash ,\; \backslash sqrt\{s^2+1\}\; \backslash cos\; t,\; \backslash ,\; b\; \backslash ,\; \backslash sqrt\{s^2+1\}\; \backslash sin\; t,\; \backslash ,\; cs\; \backslash right)$ (dla hiperboloidy jednopowłokowej)
lub
: $f(s,t)=\; \backslash left(a\; \backslash ,\; \backslash sqrt\{s^2-1\}\; \backslash cos\; t,\; \backslash ,\; b\; \backslash ,\; \backslash sqrt\{s^2-1\}\; \backslash sin\; t,\; \backslash ,\; cs\; \backslash right)$ (dla hiperboloidy dwupowłokowej).
Obie hiperboloidy są asymptotyczne do powierzchni stożka o równaniu
: $\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; –\; \backslash frac\{z^2\}\{c^2\}\; =\; 0.$

Szczególne przypadki

Hiperboloidę obrotową otrzymuje się tylko gdy $a^2=b^2.$ W przeciwnym razie osie symetrii są jednoznacznie określone (z dokładnością do zamiany osi x z osią y).
Hiperboloida jednopowłokowa zwana też hiperboloidą hiperboliczną ma ujemną krzywiznę Gaussa w każdym punkcie. Implikuje to, że każda powierzchnia styczna do niej zawiera dwie proste, leżące w hiperboloidzie – hiperboloida ta jest więc powierzchnią prostokreślną.
Hiperboloida dwupowłokowa zwana hiperboloidą eliptyczną ma dodatnią krzywiznę Gaussa w każdym punkcie. Dlatego jest powierzchnią wypukłą w tym sensie, że powierzchnia styczna w każdym punkcie przecina tę powierzchnię tylko w punkcie styczności.

Zastosowanie kształtu

W XIX wieku kształt hiperboloidy obrotowej nadawano panoramom malarskim dla spotęgowania efektu zacierania się granicy między powierzchnią płótna a przestrzenią przed nim. Jednym z przykładów takiego zastosowania jest Panorama Racławicka. Także koła zębate przekładni hipoidalnych mają kształt hiperboloidy dwupowłokowej, a jej nazwa prawdopodobnie powstała ze skrótu: hiperboloidalna > hipoidalna.

Przypisy

Linki zewnętrzne

*
*