Hiperbola (matematyka)

Hiperbola

Hiperbola, pochodząca od greckiego słowa „przerzucenie” lub „przesada”, jest krzywą, której punkty charakteryzują się stałą wartością bezwzględnej różnicy odległości od dwóch ustalonych punktów, zwanych ogniskami. Jest również krzywą stożkową, w której kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta między osią a tworzącą stożka.

Równanie hiperboli

Hiperbola o ogniskach w punktach $(-c,0)$ i $(c,0)$ opisana jest równaniem:

$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; –\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1.$

W tym równaniu, $a$ oznacza połowę odległości między wierzchołkami rzeczywistymi, a $b$ – połowę odległości między wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

$b^2=c^2-a^2.$

Równania i właściwości

• Hiperbola jest równoosiowa, gdy $a=b.$
• Mimośrodem hiperboli jest stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi: $e=\backslash frac\{c\}\{a\}\; >\; 1.$
• Kierownicami hiperboli są proste o równaniach: $x=\backslash pm\backslash frac\{a\}\{e\}.$

Odległości i asymptoty

Wybierając punkt $P=(x,y)$ na hiperboli, odległości od ognisk oznaczamy jako $r\_1$ i $r\_2$. Dla obu gałęzi hiperboli mamy następujące zależności:

• Dla prawej gałęzi: $r\_1=a+ex,\backslash \; \backslash \; r\_2=-a+ex.$
• Dla lewej gałęzi: $r\_1=-a-ex,\backslash \; \backslash \; r\_2=a-ex.$

Oznaczając odległości od kierownic jako $d\_1$ i $d\_2$, mamy związek:

$\backslash frac\{r\_1\}\{d\_1\}=\backslash frac\{r\_2\}\{d\_2\}=e.$

Hiperbola sprzężona

Hiperbola opisana równaniem:

$-\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}+\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=1$

nazywana jest hiperbolą sprzężoną. Obie hiperbole mają wspólne asymptoty o równaniach:

$y=\backslash pm\backslash frac\{b\}\{a\}x.$

Średnica i styczna

Odcinek przechodzący przez środek hiperboli, którego końce leżą na hiperboli, nazywany jest średnicą hiperboli. Styczna w punkcie $Q=(p,q)$ spełnia równanie:

$\backslash frac\{px\}\{a^2\}-\backslash frac\{qy\}\{b^2\}=1.$