Henri Léon Lebesgue
Henri Léon Lebesgue (1875-1941) był francuskim matematykiem, profesorem na Sorbonie i College de France oraz członkiem Francuskiej Akademii Nauk. Jego prace koncentrowały się głównie na analizie matematycznej, w szczególności na teorii miary i całki, co doprowadziło do wykształcenia pojęć takich jak miara i całka Lebesgue’a. Lebesgue badał również analizę harmoniczną i rachunek wariacyjny.
Życie osobiste i zawodowe
Po ukończeniu studiów Lebesgue pracował na uniwersytecie w Rennes, a następnie w 1910 roku rozpoczął wykłady na Sorbonie. W 1921 roku objął stanowisko profesora na College de France, które piastował aż do swojej śmierci. Ożenił się w 1903 roku, miał dwoje dzieci, ale małżeństwo zakończyło się w 1916 roku.
Teoria całkowania
Całkowanie to proces obliczania pola pod wykresem funkcji. Choć początki tego zagadnienia sięgają starożytności, systematyczne metody pojawiły się w XVII wieku dzięki Newtonowi i Leibnizowi. Ich rachunek całkowy, w przeciwieństwie do metody Archimedesa, nie miał jednak solidnych podstaw. W XIX wieku Cauchy i Weierstrass zdefiniowali pojęcie granicy, co umożliwiło Riemannowi stworzenie całki Riemanna. Ta metoda polega na wypełnianiu prostokątami obszaru pod wykresem, jednak istnieją funkcje, dla których całka Riemanna nie istnieje.
Limitacje całki Riemanna
- Problemy z granicą ciągu funkcji
- Ograniczona klasa funkcji całkowalnych
- Obszary poza przestrzenią euklidesową
Całka Lebesgue’a
Lebesgue wprowadził nową definicję miary, która rozszerza pojęcie długości przedziału na szerszą klasę zbiorów zwanych zbiorami mierzalnymi. Jego technika przekształcania miary w całkę umożliwia uogólnienie teorii miary. Mimo licznych zalet, całka Lebesgue’a ma ograniczenia, ponieważ nie obejmuje wszystkich funkcji, które można całkować za pomocą całki Riemanna. Istnieje także całka Henstocka, która stanowi rozszerzenie zarówno całki Lebesgue’a, jak i Riemanna, lecz nie jest tak łatwo uogólniana jak całka Lebesgue’a.
