Hamiltonian

Hamiltonian

Hamiltonian, czyli funkcja Hamiltona, to funkcja opisująca układ fizyczny za pomocą współrzędnych i pędów uogólnionych. Ma postać:

$H\; =\; H\backslash left(\; q\_1,\; \backslash dots,\; q\_N,\; p\_1,\; \backslash dots,\; p\_N,\; t\; \backslash right),$

gdzie:

• $q\_j$ – współrzędne uogólnione,
• $p\_j$ – pędy uogólnione,
• $N$ – liczba stopni swobody,
• $t$ – czas.

Hamiltonian jest wykorzystywany do zapisu równań Hamiltona oraz równania Hamiltona-Jacobiego. W mechanice kwantowej odpowiada mu operator Hamiltona.

Metody wyznaczania funkcji Hamiltona

Funkcję Hamiltona można uzyskać na dwa sposoby:

• z wyrażenia na energię całkowitą układu,
• z funkcji Lagrange’a poprzez transformację Legendre’a, zastępując prędkości pędami.

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu

Z energii całkowitej układu, przy przekształceniu prędkości na pędy, można uzyskać funkcję Hamiltona. Dla cząstki o masie $m$ poruszającej się w potencjale $V$, energia przyjmuje formę:

$E\; =\; \backslash frac\{m\backslash mathbf\{v\}^2\}\{2\}\; +\; V(\backslash mathbf\{q\}).$

Wówczas funkcja Hamiltona wynosi:

$\backslash mathcal\{H\}(t,\; \backslash mathbf\{q\},\; \backslash mathbf\{p\})\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{p\}^2\}\{2m\}\; +\; V(\backslash mathbf\{q\}).$

Oscylator harmoniczny

Dla oscylatora harmonicznego, całkowita energia wynosi:

$E\; =\; \backslash frac\{m\; v^2\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{m\}\{2\}\; \backslash omega\_0^2\; x^2.$

W związku z tym funkcja Hamiltona ma postać:

$\backslash mathcal\{H\}(x,\; p)\; =\; \backslash frac\{p^2\}\{2m\}\; +\; \backslash frac\{m\}\{2\}\; \backslash omega\_0^2\; x^2.$

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a

Funkcję Hamiltona można również uzyskać z funkcji Lagrange’a:

$\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash mathcal\{L\}(q\_1,\backslash dots,\; q\_N,\; \backslash dot\{q\}\_1,\backslash dots,\backslash dot\{q\}\_N,\; t).$

W tym przypadku dla każdej prędkości uogólnionej $\backslash dot\{q\}\_j$ wyznacza się odpowiadający pęd uogólniony:

$p\_j\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{L\}\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_j\}.$

Funkcję Hamiltona można następnie znaleźć poprzez transformację Legendre’a:

$H(q\_1,\backslash dots,\; q\_N,\; p\_1,\backslash dots,\; p\_N,\; t)\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash dot\{q\}\_i\; p\_i\; –\; L(q\_1,\backslash dots,\; q\_N,\; \backslash dot\{q\}\_1,\backslash dots,\backslash dot\{q\}\_N,\; t).$

Przykłady pędów uogólnionych

• Współrzędne kartezjańskie: pędy uogólnione są zwykłymi pędami.
• Współrzędne walcowe: pęd uogólniony odpowiada momentowi pędu.
• Pędy uogólnione mogą nie mieć oczywistej interpretacji fizycznej.

Bibliografia

• W. Królikowski, W. Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.