Grupa SU(2)

Grupa SU(2)

Grupa SU(2) to specjalna grupa unitarna rzędu 2, składająca się z macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1. Jej reprezentacja fundamentalna obejmuje macierze 2×2, które można zapisać jako:

Grupa SU(2) jest podgrupą grupy macierzy unitarnych U(2) i pełnej grupy liniowej GL(2,ℂ). Jej centrum jest izomorficzne z grupą cykliczną Z2.

Topologia

SU(2) ma wymiar 3, jest zwartą rozmaitością różniczkową i grupą Liego. Elementy grupy są ciągłe i różniczkowalne, a algebra Liego su(2) ma 3 generatory.

Reprezentacja fundamentalna

Generatory algebry Liego su(2) w reprezentacji fundamentalnej wyrażone są przez macierze Pauliego:

Reguły komutacji

Generatory spełniają następujące reguły komutacji:

• $[T^1,\; T^2]\; =\; i\; T^3,$
• $[T^2,\; T^3]\; =\; i\; T^1,$
• $[T^3,\; T^1]\; =\; i\; T^2.$

Reguły te można zapisać jako:

$[T^a,\; T^b]\; =\; i\; sum\_c\; epsilon\_\{abc\}\; T^c.$

Inne reprezentacje grupy SU(2)

Grupa SU(2) może mieć różne reprezentacje, gdzie generatory są macierzami wyższego wymiaru, spełniającymi te same reguły komutacyjne, co generatory reprezentacji fundamentalnej.

Macierz SU(2) wyrażona za pomocą generatorów

Dowolną macierz grupy SU(2) można zapisać jako:

$R\_r(psi,n\_1,n\_2,n\_3)\; =\; expleft[\{ipsisum\_\{a=1\}^3\; T^a\_r\; n\_a\}right],$

gdzie:

• $n\_1,n\_2,n\_3$ to współrzędne jednostkowego wektora,
• $psi$ to kąt obrotu.

Grupa SU(2) jest zwartą grupą zależną od trzech niezależnych parametrów, które definiują współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego oraz kąt obrotu.