Reklama

Grupa Poincarégo

Grupa Poincarégo to grupa izometrii w czasoprzestrzeni Minkowskiego, która ma wymiar 10 i jest klasyfikowana jako grupa Liego. Jej generatorami są elementy algebry Liego, które definiowane są przez określone komutatory:

Reklama

$[P_\mu, P_\nu] = 0$ – generatory translacji.
$[M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu – \eta_{\nu\rho} P_\mu$ – generatory transformacji Lorentza.
$[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} – \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} – \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}$ – komutatory między generatorami transformacji Lorentza.

W skład grupy Poincarégo wchodzą:

translacje w czasie,
translacje w przestrzeni,
transformacje Lorentza.

Translacje tworzą abelową podgrupę normalną w grupie Poincarégo. Grupa ta może być także postrzegana jako rozszerzenie grupy Lorentza.

Reklama

Geometria Minkowskiego

Zgodnie z programem z Erlangen, geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego jest zdefiniowana jako geometria, w której interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji grupy Poincarégo. Symetrie tej grupy prowadzą do istnienia dodatkowych niezmienników, takich jak masa i całkowity moment pędu, co wiąże się z pojęciem spinu.

Grupa Poincarégo jest istotna dla każdej relatywistycznej teorii pola, ponieważ wszystkie cząstki elementarne są opisywane za pomocą jej reprezentacji. Nazwa grupy pochodzi od Henri Poincaré, który był jednym z pionierów matematycznych teorii względności.

Symetrie Poincaré

Kluczowe symetrie grupy Poincaré to:

translacje (tworzą abelową grupę Liego),
obroty (tworzą nieabelową grupę Liego),
pchnięcia (boosty) – transformacje łączące układy poruszające się względem siebie, tzw. właściwe transformacje Lorentza.

Obroty i pchnięcia razem tworzą grupę Lorentza.

Reklama

Najnowsze aktualności:

Reklama

Grupa Poincarégo