Granica niewłaściwa funkcji

Granice niewłaściwe funkcji

Granica niewłaściwa funkcji to pojęcie z analizy matematycznej, które odnosi się do zachowania funkcji w nieskończoności lub w określonych punktach. Granice te nie są liczbami rzeczywistymi ani zespolonymi, lecz elementami rozszerzeń tych zbiorów. W przypadku funkcji rzeczywistych wyróżniamy granice niewłaściwe dodatnie oraz ujemne.

Niewłaściwe granice występują dla funkcji nieograniczonych, w tym dla funkcji monotonicznych. Granice niewłaściwe w punkcie definiuje się dla końców przedziałów otwartych, a punkty te są często uważane za punkty nieciągłości.

Definicje Heinego

Granica właściwa w nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(a,\backslash infty)$. Liczba $g$ jest granicą właściwą funkcji $f$ w $\backslash infty$, co zapisujemy jako:

$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\backslash infty\}\; f(x)\; =\; g$

To zachodzi, gdy:

$\backslash forall\; \{(x\_n)\}\; [(\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}x\_n=\backslash infty)\; \backslash to\; (\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}\; f(x\_n)\; =\; g)].$

Granica właściwa w minus nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(-\backslash infty,a)$. Liczba $g$ jest granicą właściwą funkcji $f$ w $-\backslash infty$, co zapisujemy jako:

$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\{-\backslash infty\}\}\; f(x)\; =\; g$

To zachodzi, gdy:

$\backslash forall\; \{(x\_n)\}\; [(\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}x\_n=-\backslash infty)\; \backslash to\; (\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}\; f(x\_n)\; =\; g)].$

Granica niewłaściwa w nieskończoności

Funkcja $f$ ma granicę niewłaściwą $\backslash infty$ w $\backslash infty$, co zapisujemy jako:

$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\backslash infty\}\; f(x)\; =\backslash infty$

To zachodzi, gdy:

$\backslash forall\; \{(x\_n)\}\; [(\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}x\_n=\backslash infty)\; \backslash to\; (\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}\; f(x\_n)=\backslash infty)].$

Granica niewłaściwa w minus nieskończoności

Funkcja $f$ ma granicę niewłaściwą $\backslash infty$ w $-\backslash infty$, co zapisujemy jako:

$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\{-\backslash infty\}\}\; f(x)\; =\; \backslash infty$

To zachodzi, gdy:

$\backslash forall\; \{(x\_n)\}\; [(\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}x\_n=-\backslash infty)\; \backslash to\; (\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}\; f(x\_n)=\backslash infty)].$

Granica niewłaściwa ujemna w nieskończoności

Funkcja $f$ ma granicę niewłaściwą $-\backslash infty$ w $\backslash infty$, co zapisujemy jako:

$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\backslash infty\}\; f(x)\; =\; -\backslash infty$

To zachodzi, gdy:

$\backslash forall\; \{(x\_n)\}\; [(\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}x\_n=\backslash infty)\; \backslash to\; (\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}\; f(x\_n)=-\backslash infty)].$

Granica niewłaściwa ujemna w minus nieskończoności

Funkcja $f$ ma granicę niewłaściwą $-\backslash infty$ w $-\backslash infty$, co zapisujemy jako:

$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\{-\backslash infty\}\}\; f(x)\; =\; -\backslash infty$

To zachodzi, gdy:

$\backslash forall\; \{(x\_n)\}\; [(\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}x\_n=-\backslash infty)\; \backslash to\; (\backslash lim\_\{n\; \backslash to\backslash infty\}\; f(x\_n)=-\backslash infty)].$

Linki zewnętrzne

• Granica niewłaściwa funkcji w punkcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna.
• Analiza matematyczna 1, wykład 5: Obliczanie granic.
• Wprowadzenie do granic niewłaściwych, Khan Academy Po Polsku.