Granica funkcji

Granica funkcji to wartość, do której obraz funkcji zbliża się, gdy argumenty są dostatecznie bliskie wybranemu punktowi. Istnieją dwie kluczowe definicje: Cauchy’ego i Heinego.

Historia

Pojęcie granicy było znane już w starożytności, gdzie używano go w metodzie wyczerpywania. Termin „limes” pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona i Leibniza, którzy różnie interpretowali granice w kontekście rachunku różniczkowego i całkowego. W XIX wieku powstała współczesna definicja granicy funkcji, którą sformułował Cauchy, a Weierstrass nadał jej ostateczne brzmienie.

Definicje granicy

Definicja Cauchy’ego: Dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0, taka że dla każdej x z dziedziny A, gdy 0 < |x - x₀| < δ, to |f(x) - g| < ε.
Definicja przez ciągłość: Wartość g, którą przypisujemy funkcji f w punkcie x₀, by była w tym punkcie ciągła.

Przykłady

Nie istnieje granica: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ .
Istnieje granica: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ .
Istnieje granica: $\lim_{x \to 0} x \cdot \sin{\frac{1}{x}} = 0$ .

Granice jednostronne

Granice jednostronne to granice lewostronne i prawostronne. Jeśli obie granice istnieją i są równe, mamy granicę obustronną. Definicje opierają się na wartościach funkcji zbliżających się do punktu x₀.

Granica niewłaściwa

Granica niewłaściwa to sytuacja, gdy funkcja dąży do ±∞ w danym punkcie. Definicje Cauchy’ego i Heinego są analogiczne do definicji granicy właściwej, z tą różnicą, że dotyczą wartości dążących do nieskończoności.

Granica w nieskończoności

Granica funkcji w nieskończoności odnosi się do zachowania funkcji, gdy argumenty dążą do +∞ lub -∞. Definicje są podobne do wcześniejszych, z zastosowaniem odpowiednich warunków dla nieskończoności.