Funkcje eliptyczne

Funkcje eliptyczne

Funkcje eliptyczne to funkcje meromorficzne zdefiniowane na zbiorze liczb zespolonych, które są dwuokresowe, co oznacza, że są periodyczne wzdłuż dwóch kierunków. Ich rozwój związany jest z całkami eliptycznymi oraz problemem obliczania długości łuku elipsy.

Funkcja eliptyczna $f$ spełnia następujące warunki:

• Istnieją dwie niezerowe liczby zespolone $a$ i $b$, dla których $f(z\; +\; a)\; =\; f(z\; +\; b)\; =\; f(z)$ dla wszystkich $z$ w $\backslash mathbb\{C\}$.
• Stosunek $\backslash frac\{a\}\{b\}$ nie jest liczbą rzeczywistą.

W konsekwencji, $f(z\; +\; ma\; +\; nb)\; =\; f(z)$ dla wszystkich $z$ oraz $m$ i $n$ jako liczby naturalne.

Rozwój teorii funkcji eliptycznych

Teoria funkcji eliptycznych opiera się na $\backslash wp$-funkcji, wprowadzonej przez Karla Weierstrassa, która pozwala na przedstawienie każdej funkcji eliptycznej. Carla Jacobiego definicja funkcji eliptycznych z użyciem funkcji theta jest bardziej złożona, ale również istotna.

Definicje i twierdzenia

Okres funkcji zespolonej to liczba zespolona $\backslash omega$, dla której $f(z\; +\; \backslash omega)\; =\; f(z)$ dla wszystkich $z$.

Okresy pierwotne to dwa okresy $a$ i $b$, z których każdy inny okres $\backslash omega$ można zapisać w postaci $\backslash omega\; =\; ma\; +\; nb$, gdzie $m$ i $n$ są liczbami całkowitymi.

Twierdzenie: Każda funkcja eliptyczna posiada parę okresów pierwotnych, które nie są unikatowe. Jeśli $a$ i $b$ są okresami pierwotnymi, to można je opisać również przez parę $a’\; =\; pa\; +\; qb$ oraz $b’\; =\; ra\; +\; sb$, gdzie $p,\; q,\; r,\; s$ są liczbami całkowitymi spełniającymi $ps\; –\; qr\; =\; 1$.

Równoległobok pierwotny to figura utworzona przez wierzchołki $z,\; z\; +\; a,\; z\; +\; b,\; z\; +\; a\; +\; b$. Zwielokrotnianie tych równoległoboków przez całkowite mnożniki $a$ i $b$ daje kolejne równoległoboki pierwotne, które zachowują okresowość funkcji $f$.

Twierdzenie: Pochodna funkcji eliptycznej również jest funkcją eliptyczną o tym samym okresie.