Funkcje elementarne

Funkcje elementarne to klasa funkcji matematycznych definiowana w kontekście funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej. Mogą być one także uogólniane na funkcje zespolone oraz inne struktury algebraiczne.

Generatory funkcji elementarnych i działania podstawowe

Funkcje elementarne opierają się na pewnym zbiorze generatorów oraz podstawowych działaniach:

Zbiór funkcji podstawowych (generatorów):
- funkcje stałe $f_c(x)=c$ , gdzie c jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną
- identyczność $id(x)=x$
- funkcje wykładnicze i logarytmiczne
- funkcje trygonometryczne i odwrotne do trygonometrycznych
Zbiór działań podstawowych:
- działania arytmetyczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie)
- złożenie funkcji

Funkcje elementarne obejmują tylko wyniki powyższych działań przeprowadzanych skończoną liczbę razy.

Rodzina funkcji elementarnych

Rodzina funkcji elementarnych obejmuje:

funkcje algebraiczne, w tym wielomiany i funkcje wymierne
funkcje przestępne, takie jak funkcje hiperboliczne czy rozkład normalny

Własności funkcji elementarnych

Funkcje elementarne są ciągłe w każdym punkcie swojej dziedziny.
Nie muszą być różniczkowalne (np. wartość bezwzględna).

Funkcje nieelementarne

Funkcje nieelementarne to te, które nie spełniają definicji funkcji elementarnych, w tym:

funkcja znaku (signum)
funkcja podłogi oraz sufit
funkcja Dirichleta
funkcja gamma Eulera
funkcje Bessela

Całki nieelementarne

Całka eliptyczna pierwszego rodzaju: $\int \sqrt{1-x^4}dx$
Funkcja błędu oraz dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego: $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt$
Całka z funkcji sinc: $\int \frac{\sin x}{x}$

Linki zewnętrzne

Funkcje elementarne – wykład 2 z kursu „Analiza matematyczna 1”, wazniak.mimuw.edu.pl

Najnowsze aktualności:

Funkcje elementarne