Funkcja bijekcyjna
Bijekcja, zwana również funkcją wzajemnie jednoznaczną, to odpowiedniość między elementami dwóch zbiorów, która jest jednocześnie iniekcją (różnowartościową) i suriekcją (na). Oznacza to, że dla każdej wartości w zbiorze wyjściowym istnieje dokładnie jedna wartość w zbiorze docelowym. Kluczowe cechy bijekcji to:
- Istnienie funkcji odwrotnej, która również jest bijekcją.
- Przeciwobraz każdego singletonu jest również singletonem.
Zastosowania bijekcji
Bijekcje mają szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki, w tym:
- Równoliczność zbiorów w kombinatoryce i teorii mnogości.
- Izomorfizm struktur w algebrze abstrakcyjnej i teorii kategorii.
- Homeomorfizm i izometria w topologii.
Bijekcje endofunkcyjne, czyli takie, które przekształcają zbiór w siebie, nazywane są permutacjami i tworzą grupy symetryczne. Pozwalają one na zdefiniowanie symetrii figur i innych obiektów. Dodatkowe warunki na bijekcje mogą tworzyć podgrupy grup symetrycznych, takie jak grupy alternujące czy automorfizmów.
Przykłady bijekcji
Oto kilka przykładów bijekcji:
- Alfabet – zawiera wszystkie litery danej ortografii (suriektywność) i każdą tylko raz (iniektywność).
- Listy obecności – ciągi osób z ustalonego zbioru.
- Zmiana systemu liczbowego – przekształcenie liczb dziesiętnych na rzymskie lub binarne.
- Logarytm w dziedzinie rzeczywistej.
- Dowolna iniekcja z przeciwdziedziną zawężoną do obrazu tej funkcji.
Grupa bijekcji
Zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru spełnia aksjomaty grupy:
- Składanie funkcji jest działaniem dwuargumentowym.
- Działanie to jest łączne.
- Funkcja tożsamościowa jest elementem neutralnym.
- Każda bijekcja ma jednoznacznie określoną bijekcję odwrotną.
Grupa bijekcji, utworzona przez składanie tych funkcji, była jedną z pierwszych rozważanych grup w historii matematyki. Zgodnie z twierdzeniem Cayleya, każdą grupę abstrakcyjną można przedstawić jako grupę bijekcji.
