Funkcja wielu zmiennych

Funkcja wielu zmiennych

Funkcja wielu zmiennych to pojęcie matematyczne, które można rozumieć w dwóch kontekstach:

• Szeroki kontekst: Funkcja $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$, gdzie dziedzina $X$ jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego co najmniej dwóch zbiorów, tzn. $X\; \backslash subseteq\; X\_1\backslash times\; \backslash ldots\backslash times\; X\_n.$
• Wąski kontekst: Funkcja rzeczywista, której argumenty to co najmniej dwie liczby.

Najczęściej spotykanymi zmiennymi są zmienne rzeczywiste, a ich dziedzina to $\backslash mathbb\{R\}^n$, gdzie elementy dziedziny są wektorami $\backslash mathbf\; x\; =[x\_1,x\_2,\backslash dots,\; x\_n].$ Przeciwdziedzina $Y$ może być przestrzenią liczb rzeczywistych $\backslash mathbb\{R\}$ lub ogólną przestrzenią wielowymiarową $\backslash mathbb\{R\}^m.$

Zapis funkcji wielu zmiennych

Funkcję $f(\backslash mathbf\; x)$ zależną od zmiennych $\backslash mathbf\; x\; =[x\_1,x\_2,\backslash dots,\; x\_n]$ zapisuje się jako $f(x\_1,x\_2,\backslash dots,\; x\_n)$. W przypadku mniejszej liczby zmiennych używa się oznaczeń $x\_1\backslash equiv\; x,\; x\_2\backslash equiv\; y,\; x\_3\backslash equiv\; z.$

W wielu przypadkach nie podaje się jawnie zmiennych, przyjmując, że wszystkie literały oznaczają zmienne, z wyjątkiem tych uznawanych za stałe. Na przykład, wzór na objętość walca obrotowego $V(r,h)\; =\; \backslash pi\; r^2\; h$ jest funkcją dwóch zmiennych $r$ i $h.$

Przykłady funkcji wielu zmiennych

• $f(x,\; y)\; =\; \backslash sin(xy^2)$
• $f(x,\; y,\; z)\; =\; x^3y\; –\; xyz\; +\; y\backslash sin^2(z^3)\; –\; x$
• $f(x\_1,\backslash dots,x\_n)=\backslash sqrt\{x\_1^2+\backslash ldots+x\_n^2\}$ – długość wektora w przestrzeni $\backslash mathbb\{R\}^n$
• $f(x,\; y,\; z,\; t)\; =\; x\; +\; y\; +\; z\; +\; t$
• $f(x,\; y)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{t\}\backslash sin(t\backslash cdot\; xy^2)\; dt$
• $U(R,\; I)\; =\; IR$ – napięcie na oporniku jako funkcja oporu $R$ i natężenia $I$.

Dodatkowe konteksty

• W matematyce elementarnej podstawowe działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie) są funkcjami dwóch zmiennych.
• W mechanice klasycznej wektor położenia układu zależy od czasu i liczby stopni swobody, co skutkuje różną liczbą składowych.
• W mechanice kwantowej stan układu opisuje funkcja falowa, której wartości zależą od współrzędnych układu oraz ewentualnych stanów spinowych.