Funkcja W Lamberta

Funkcja W Lamberta

Funkcja W Lamberta, znana również jako funkcja Omega, jest funkcją specjalną, która służy do rozwiązywania równań z niewiadomą w podstawie i wykładniku potęgi. Zdefiniowana jako odwrotność funkcji $f(w)\; =\; w\; e^w$, jest oznaczana symbolem $W(z)$. Dla każdej liczby zespolonej $z$ zachodzi równanie:

$z\; =\; W(z)e^\{W(z)\}.$

Funkcja W ma wiele gałęzi, oznaczanych jako $W\_k(z)$, gdzie $kinmathbb\{Z\}$. Dla $k=0$ mamy gałąź $W\_0(z)$, która jest rozszerzona na wszystkie liczby zespolone. W przypadku, gdy $x$ i $W(x)$ są liczbami rzeczywistymi, odwzorowanie istnieje tylko dla $x\; geqslant\; -1/e$, a w przedziale $(-1/e,\; 0)$ jest dwuwartościowe.

Własności funkcji W(z)

Równanie $x^x\; =\; z$ można rozwiązać za pomocą funkcji W:

$x\; =\; frac\{ln(z)\}\{W(ln\; z)\}\; =\; exp\; W(ln(z)).$

Pochodna funkcji W wynosi:

$frac\{dW(z)\}\{dz\}\; =\; frac\{W(z)\}\{z(1\; +\; W(z))\},\; quad\; text\{dla\; \}\; z\; neq\; -frac\{1\}\{e\}.$

Zastosowanie

Funkcja W Lamberta ma zastosowanie w kombinatoryce oraz przy rozwiązywaniu równań różniczkowych. Umożliwia przekształcenie równań do formy $Y\; =\; Xe^X$, co pozwala na łatwe uzyskanie rozwiązania:

$Y\; =\; Xe^X\; Longleftrightarrow\; X\; =\; W(Y).$

Przykłady

• Przykład 1: Dla równania $2^t\; =\; 5t$, przekształcamy do postaci $t\; =\; -frac\{Wleft(-frac\{ln2\}\{5\}right)\}\{ln2\}.$
• Przykład 2: Dla $z^\{z^\{z^ldots\}\}\; =\; c$, uzyskujemy $c\; =\; -frac\{Wleft(-ln\; zright)\}\{ln\; z\}.$
• Przykład 3: W równaniu różniczkowym $y\text{'}(t)\; =\; ay(t-1)$, rozwiązanie ma postać $y(t)\; =\; e^\{W\_k(a)\; t\}.$

Ważne wartości i uwagi

Aby udowodnić istnienie wartości $z^\{z^\{z^ldots\}\}$, należy rozważyć ciąg $a\_n\; =\; z^\{a\_\{n-1\}\}$ i wykazać istnienie jego granicy.

Linki zewnętrzne

• [Dostęp 2023-05-31]