Funkcja tożsamościowa

Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność) – funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.
W niektórych dyscyplinach matematycznych zamiast słowa funkcja używa się słów odwzorowanie lub przekształcenie.
Gdy funkcja jest określona na specyficznej dziedzinie czy przeciwdziedzinie, to używa się też innych nazw. Np. funkcjonał – funkcja z przestrzeni wektorowej na ciało liczbowe, operator – funkcja z przestrzeni wektorowej na przestrzeń wektorową itp.

Definicja

Funkcją tożsamościową (identycznościową) zbioru $S$ nazywa się funkcję $\backslash operatorname\{i\}\_S\backslash colon\; S\; \backslash to\; S$ daną dla każdego $x\; \backslash in\; S$ wzorem
: $\backslash operatorname\{i\}\_S(x)\; =\; x.$
Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą $\backslash operatorname\{id\}\_S,$ $\backslash operatorname\{I\}\_S,$ $\backslash operatorname\{1\}\_S,$ choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru $S.$
Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to opuszcza się indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową, pisząc: $\backslash operatorname\{id\},$ $\backslash operatorname\{I\},$ $\backslash operatorname\{1\}.$
W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna $M.$

Własności

funkcji tożsamościowej określonej na liczbach rzeczywistych.]]
Jeżeli $f\backslash colon\; M\; \backslash to\; N$ jest dowolną funkcją, to $f\; \backslash circ\; \backslash operatorname\{id\}\_M\; =\; f\; =\; \backslash operatorname\{id\}\_N\; \backslash circ\; f,$ gdzie $\backslash circ$ oznacza złożenie funkcji. W szczególności $\backslash operatorname\{id\}\_M$ jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji $M\; \backslash to\; M.$
Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na $M$ można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy $M$ nie muszą być funkcjami.
Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.

Przykłady

Funkcja liniowa postaci $x\; \backslash mapsto\; x$ jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.