Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna

Homografia, określana jako iloraz funkcji liniowych, ma różne definicje. W jej szerokim ujęciu można ją opisać wzorem:

$f(z)\; =\; \backslash frac\{az+b\}\{cz+d\},$

gdzie $a,\; b,\; c,\; d$ są współczynnikami spełniającymi warunek $ad\; –\; bc\; \backslash ne\; 0$. W węższym sensie, homografie to ilorazy funkcji liniowych, które nie są funkcjami liniowymi (z dodatkowym warunkiem $c\; \backslash ne\; 0$). Istnieją dwie postacie homografii: postać ogólna i kanoniczna:

$f(z)\; =\; \backslash frac\{r\}\{z-p\}\; +\; q,\; \backslash quad\; r\; \backslash ne\; 0.$

Dziedzina i zbiór wartości

Funkcja homograficzna $f(x)\; =\; \backslash frac\{ax+b\}\{cx+d\}$ jest określona dla:

• $x\; \backslash ne\; -\backslash frac\{d\}\{c\}$, co określa dziedzinę jako $K\backslash setminus\; \backslash \{-\backslash frac\{d\}\{c\}\backslash \}$,
• nie przyjmuje wartości $\backslash frac\{a\}\{c\}$, co określa zbiór wartości jako $K\backslash setminus\; \backslash \{\backslash frac\{a\}\{c\}\backslash \}$.

W przypadku, gdy $c\; =\; 0$, funkcja jest określona dla dowolnego $x\; \backslash in\; K$ i przyjmuje dowolne wartości z ciała $K$.

Różnowartościowość

Homografia jest funkcją różnowartościową. Gdy $f(x\_1)\; =\; f(x\_2)$, to $ad\; –\; bc\; \backslash ne\; 0$, co prowadzi do wniosku, że $x\_1\; =\; x\_2$.

Przedłużenie homografii

Możliwe jest przedłużenie funkcji homograficznej na zbiór $\backslash hat\{K\}\; =\; K\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash infty\backslash \}$, gdzie:

• dla $c\; =\; 0$, $f(\backslash infty)\; =\; \backslash infty$,
• dla $c\; \backslash ne\; 0$, $f(\backslash infty)\; =\; \backslash frac\{a\}\{c\}$, a $f\backslash left(-\backslash frac\{d\}\{c\}\backslash right)\; =\; \backslash infty$.

Homografia $f:\; \backslash hat\{K\}\; \backslash to\; \backslash hat\{K\}$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Ciągłość homografii

Funkcja homograficzna jest ciągła w swojej dziedzinie. Po przedłużeniu na $\backslash hat\{\backslash mathbb\{R\}\}$ lub $\backslash hat\{\backslash mathbb\{C\}\}$, zachowane są limity w nieskończoności.

Grupowe właściwości

Wszystkie homografie w danym ciele tworzą grupę ze względu na składanie. Zachodzi:

$(g\; \backslash circ\; f)(x)\; =\; g(f(x)),$

gdzie obie funkcje są homografiami. Elementem neutralnym jest funkcja tożsamości $f(x)\; =\; x$.

Rozkład homografii

Homografia może być przedstawiona jako złożenie funkcji translacji, inwersji i jednokładności. Można to zapisać jako:

$f(z)\; =\; \backslash frac\{az+b\}\{cz+d\}\; =\; \backslash text\{translacja\}\; +\; \backslash text\{inwersja\}\; +\; \backslash text\{jednokładność\}.$

Przykłady i zastosowania

• Suma nieskończonego szeregu geometrycznego jest homograficzną funkcją.
• Ułamek łańcuchowy składa się z wielu homografii.
• W optyce geometrycznej funkcje homograficzne opisują zachowanie soczewek i zwierciadeł.
• W teorii względności prędkości są homograficznymi funkcjami.