Funkcja Cobba-Douglasa

Funkcja Cobba-Douglasa

Funkcja Cobba-Douglasa jest modelem ekonomicznym, który opisuje zależność produkcji od nakładów pracy i kapitału. Opracowana przez Knuta Wicksella, została przetestowana przez Paula Douglasa i Charlesa Cobba w 1928 roku. Funkcja przyjmuje postać:

$F(K,L)\; =\; aK^alpha\; L^beta,\; K,L\; geq\; 0,$

gdzie:

• $K$ – nakład kapitału,
• $L$ – nakład pracy,
• $a$ – parametr skalujący.

Funkcja ta ilustruje zasadę malejących przychodów, co oznacza, że każda dodatkowa jednostka jednego zasobu, bez zwiększenia drugiego, prowadzi do mniejszego wzrostu produkcji. W przypadku klasycznej wersji funkcji, gdy $alpha\; +\; beta\; =\; 1$, brak jest efektów skali – podwojenie nakładów $K$ i $L$ skutkuje podwojeniem produkcji $Y$.

Niektórzy makroekonomiści postulują, że w całej gospodarce nie występują niekorzyści skali, gdyż zakłady pracy mogą być kopiowane. Jednak wiele z nich osiągnęło już optymalną wielkość.

Uogólnienie funkcji Cobba-Douglasa

Uogólniona forma funkcji Cobba-Douglasa, która obejmuje wiele zmiennych, wyraża się wzorem:

$F(X\_1,X\_2,dots,X\_N)\; =\; aprod\_\{i=1\}^N\; X\_i^\{alpha\_i\}$, dla $X\_1,X\_2,dots,X\_N\; geq\; 0.$

Własności tej funkcji obejmują:

• jest nieujemna,
• jest rosnąca,
• gdy $sum\_\{i=1\}^N\; \{alpha\_i\}\; =\; 1$, funkcja jest homogeniczna stopnia pierwszego, co oznacza, że $forall\; z>0:\; F(zX\_1,zX\_2,dots,zX\_N)=zF(X\_1,X\_2,dots,X\_N)$.

W rezultacie, funkcja ta wykazuje stałe przychody względem skali produkcji.

Podsumowanie

Funkcja Cobba-Douglasa jest kluczowym narzędziem w ekonomii, używanym do analizy produkcji i jej zależności od nakładów pracy i kapitału. Jej różne formy i właściwości pozwalają ekonomistom lepiej zrozumieć dynamikę i efektywność procesów produkcyjnych.