Funkcja ciągła

Funkcję ciągłą można zdefiniować jako taką, w której niewielkie zmiany argumentu prowadzą do niewielkich zmian wartości funkcji. Innymi słowy, dla argumentów bliskich sobie, wartości funkcji również są bliskie. Funkcja ciągła na zbiorze rzeczywistym (lub jego podprzedziale) ma wykres w postaci ciągłej linii, co oznacza, że można ją narysować bez odrywania ołówka od papieru.

Funkcja, która ma co najmniej jeden punkt nieciągłości, nazywana jest funkcją nieciągłą. Pojęcie ciągłości jest kluczowe w topologii, gdzie definiuje się je w sposób ogólny, stosując pojęcia z przestrzeni metrycznych oraz funkcji zmiennych rzeczywistych.

Definicje ciągłości

Funkcja $f\colon A \to B$ jest ciągła w punkcie $x_0 \in A$ , jeśli dla każdego otoczenia $U$ punktu $f(x_0)$ istnieje otoczenie $V$ punktu $x_0$ , takie że dla każdego $x \in V \cap A$ zachodzi $f(x) \in U$ .

Funkcja jest ciągła w zbiorze $C$ zawartym w jej dziedzinie, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Ciągłość funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej

Istnieją dwie równoważne definicje ciągłości funkcji rzeczywistych:

Definicja Cauchy’ego: Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0 \in M$ , gdy dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje $\delta > 0$ , takie że dla każdego $x\in M$ , jeśli $|x_0-x| < \delta$ , to $|f(x_0) – f(x)| < \varepsilon$ .
Definicja Heinego: Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0 \in M$ , gdy dla każdego ciągu $(x_n)$ , który zbiega do $x_0$ , ciąg wartości $(f(x_n))$ zbiega do $f(x_0)$ .

Ciągłość jednostronna

Funkcje mogą być także analizowane pod kątem ciągłości jednostronnej, tj. lewostronnej i prawostronnej. Dla definicji Cauchy’ego należy wprowadzić dodatkowe warunki dotyczące kierunku zbliżania się do punktu $x_0$ .

Własności funkcji ciągłych

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje swoje ekstrema i jest jednostajnie ciągła.
Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych definiuje się analogicznie do definicji Cauchy’ego, z uwzględnieniem metryki.

Ciągłość w przestrzeniach topologicznych

Funkcja $f\colon X \to Y$ jest ciągła w punkcie $x\in X$ , jeśli dla każdego otoczenia $V \subseteq Y$ punktu $f(x)$ istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ , takie że $f(U) \subseteq V$ .

Aby zbadać ciągłość funkcji, można sprawdzić, czy przeciwobraz zbiorów otwartych jest otwarty, lub analizować zbiory domknięte.

Podsumowanie

Ciągłość funkcji jest fundamentalnym pojęciem w matematyce, odgrywając kluczową rolę w analizie matematycznej i topologii. Zrozumienie definicji oraz własności funkcji ciągłych jest niezbędne do dalszych badań w tej dziedzinie.

Najnowsze aktualności:

Funkcja ciągła