Funkcja charakterystyczna zbioru

Funkcja charakterystyczna zbioru

Funkcja charakterystyczna, znana również jako funkcja wskaźnikowa lub indykator zbioru, definiowana jest jako:

Oznaczenia funkcji charakterystycznej dla zbioru $Bsubseteq\; A$ obejmują: $mathbf\; 1\_\{B,\; A\},\; mathbf\{I\}\_\{B,A\},\; chi\_\{B,\; A\},\; mathbf\; 1\_B,\; mathbf\{I\}\_B$, oraz $chi\_B.$ Funkcje te są istotne w teorii miary oraz w analizie funkcji mierzalnych.

Przykłady zastosowania

• Funkcja Dirichleta $mathbf\; 1\_mathbb\; Q$ dla zbioru liczb wymiernych $mathbb\; Q$ jest funkcją nieciągłą w każdym punkcie dziedziny.
• Dla nieujemnej funkcji mierzalnej $fcolon\; A\; to\; overline\; \{mathbb\; R\}$, ciąg $left(frac\{1\}\{2^n\}sum\_\{k=1\}^\{n\; 2^n\}chi\_\{\{x\; in\; Acolon\; f(x)\; >\; k/2^n\},A\}right)\_\{ninmathbb\{N\}\}$ zbiega punktowo do $f.$

Funkcje charakterystyczne mają kluczowe znaczenie w analizie matematycznej oraz w teorii miary, umożliwiając modelowanie zbiorów oraz ich właściwości w kontekście funkcji mierzalnych.