Funkcja celowa

Funkcja celowa w programowaniu liniowym

Funkcja celowa jest kluczowym elementem w zadaniach programowania liniowego, gdzie celem jest znalezienie optymalnego rozwiązania, które minimalizuje lub maksymalizuje daną funkcję. W kontekście programowania liniowego, możemy zdefiniować zadanie jako:

$X=\{x\; in\; R^n\; :\; Ax=b,\; x>0\}$

Przekształcanie funkcji celowej

Funkcję celową można poddać różnym przekształceniom, które ułatwiają analizę i rozwiązanie problemu. Oto kilka kluczowych metod:

• Zmiana maksymalizacji na minimalizację: zadanie maksymalizacji można przekształcić w równoważne zadanie minimalizacji poprzez zmianę znaku we współczynniku. Oznacza to, że $max(c,x)\; =\; -min(-c,x).$
• Pominięcie składników stałych: składniki niezależne od zmiennej $x$ można pominąć, co upraszcza funkcję celową.
• Wprowadzenie zmiennych o przeciwnych znakach: zmienne, które mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, można zastąpić dwiema zmiennymi o przeciwnych znakach, tj. $x\_j\; =\; x\_j^+\; +\; x\_j^-.$
• Przekształcenie ograniczeń: ograniczenia nierównościowe można przekształcić w równania, dodając zmienne dopełniające, co przedstawia równanie

Podsumowanie

Funkcja celowa w programowaniu liniowym jest kluczowym elementem, który można przekształcać w celu uproszczenia problemu optymalizacji. Wykorzystanie różnych metod przekształceń pozwala na efektywniejsze rozwiązanie zadań związanych z maksymalizacją lub minimalizacją.