Funkcja błędu

Funkcja błędu Gaussa

Funkcja błędu Gaussa, oznaczana jako $operatorname\{erf\}(x)$, jest nieelementarną funkcją występującą w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jej definicja to:

$operatorname\{erf\}(x)=frac\{2\}\{sqrtpi\}int\_0^xe^\{-t^2\},mathrm\; dt.$

Funkcja ta jest ściśle związana z uzupełniającą funkcją błędu $operatorname\{erfc\}(x)$, zdefiniowaną jako:

$operatorname\{erfc\}(x)\; =\; 1\; –\; operatorname\{erf\}(x)\; =\; frac\{2\}\{sqrtpi\}int\_x^infty\; e^\{-t^2\},mathrm\; dt.$

Istnieje także zespolona funkcja błędu $w(x)$, znana jako funkcja Faddiejewej:

$w(x)=e^\{-x^2\}operatorname\{erfc\}(-ix).$

Własności i zastosowania

Funkcja błędu jest nieparzysta:

$operatorname\{erf\}(z)=\; -operatorname\{erf\}(-z).$

Na osi rzeczywistej przyjmuje granice:

• $operatorname\{erf\}(pminfty)=pm1$

Na osi urojonej granice są następujące:

• $operatorname\{erf\}(pm\; iinfty)=pm\; iinfty$

Funkcja błędu jest powiązana z rozkładem normalnym Gaussa, co można zauważyć w pochodnej:

$frac\{d\}\{dz\}operatorname\{erf\}(z)=frac\{2\}\{sqrtpi\}e^\{-z^2\}.$

Szereg Taylora

Funkcję błędu można wyrazić jako szereg Taylora:

$operatorname\{erf\}(x)\; =\; frac\{2\}\{sqrt\{pi\}\}sum\_\{n=0\}^inftyfrac\{(-1)^n\; x^\{2n+1\}\}\{(2n+1)n!\}.$

Dla małych wartości $|x|ll1$:

$operatorname\{erf\}(x)\; approx\; frac\{2\}\{sqrtpi\}e^\{-x^2\}left(x+frac\{2x^3\}\{1cdot3\}+ldotsright).$

Dla dużych wartości $|x|gg1$:

$operatorname\{erf\}(x)\; approx\; 1-frac\{e^\{-x^2\}\}\{sqrtpi\}left(frac\{1\}\{x\}-frac\{1\}\{2x^3\}+ldotsright).$

Przybliżenie funkcji elementarnymi

Funkcję błędu można przybliżyć funkcjami cyklometrycznymi i hiperbolicznymi:

• $operatorname\{erf\}(x)\; approx\; frac\{2\}\{pi\}\; operatorname\{arctg\}[2x(1+x^4)]$
• $operatorname\{erf\}(x)approx\; sgn(x)\; operatorname\{tgh\}[1\{,\}152|x|\; +\; 0\{,\}064|x|^4]$

Możliwe jest również uzyskanie dokładnych przybliżeń z wykorzystaniem funkcji Gaussa:

$operatorname\{erf\}(x)\; approx\; sgn(x)\; sqrt\{1\; –\; e^\{-alpha(x)\; x^2\}\},$

gdzie:

$alpha(x)\; =frac\{frac\{4\}\{pi\}\; +\; ax^2\}\{1\; +\; ax^2\}.$

Podsumowanie

Funkcja błędu Gaussa odgrywa kluczową rolę w statystyce i teorii prawdopodobieństwa, a jej zastosowania obejmują między innymi analizy rozkładów statystycznych i rozwiązywanie równań różniczkowych. Dzięki różnorodnym własnościom i możliwym przybliżeniom, funkcja ta jest szeroko stosowana w matematyce oraz naukach przyrodniczych.