Funkcja η

Funkcja eta Dirichleta

Funkcja eta Dirichleta, oznaczana jako $\backslash eta(z)$, jest zdefiniowana dla argumentów zespolonych jako:

$\backslash eta(z)=\backslash left(1-2^\{1-z\}\backslash right)\backslash zeta(z),$

gdzie $\backslash zeta(z)$ to funkcja dzeta Riemanna. Można ją również przedstawić jako szereg nieskończony:

$\backslash eta(z)=\backslash sum\_\{n=1\}^\{+\backslash infty\}\backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n^z\}.$

Inna forma definicji tej funkcji wykorzystuje całkę:

$\backslash eta(z)=\backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(z)\}\backslash int\backslash limits\_0^\{+\backslash infty\}\backslash frac\{x^\{z-1\}\}\{\backslash exp(x)+1\}\backslash ,dx,$

gdzie $\backslash Gamma(z)$ to funkcja gamma Eulera.

Własności funkcji η

Funkcję η można rozłożyć na część rzeczywistą $\backslash Re(\backslash eta(z))$ i część urojoną $\backslash Im(\backslash eta(z)).$ Własności te przedstawiają się następująco:

• $\backslash Re(\backslash eta(z))=\backslash Re(\backslash eta(\backslash overline\{z\})),$
• $\backslash Im(\backslash eta(z))=-\backslash Im(\backslash eta(\backslash overline\{z\})),$

Oznacza to, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych argumentów z. Dodatkowo, granica funkcji przy $\backslash Re(z)\backslash to\backslash infty$ wynosi:

$\backslash lim\_\{\backslash Re(z)\backslash to\backslash infty\}\backslash eta(z)=1.$

Skutkuje to granicami:

• $\backslash lim\_\{\backslash Re(z)\backslash to\backslash infty\}\backslash Re(\backslash eta(z))=1$,
• $\backslash lim\_\{\backslash Re(z)\backslash to\backslash infty\}\backslash Im(\backslash eta(z))=0.$

Wykresy funkcji η

Poniżej przedstawiono wykresy funkcji η:

• Wykres dla osi rzeczywistej, gdzie część urojona jest równa zeru.
• Wykres dla całej płaszczyzny zespolonej, gdzie odcień oznacza argument funkcji, a nasycenie reprezentuje jej moduł.

Funkcja eta Dirichleta jest istotna w teorii liczb oraz analizie matematycznej, stanowiąc ważny element w badaniach nad funkcjami specjalnymi.