Formalizm w filozofii matematyki
Formalizm to kierunek w filozofii matematyki, który rozwinął się z logicyzmu. Postuluje, że matematyka jest systemem formalnym opartym na aksjomatach, definicjach oraz logice. Współczesne aksjomaty pochodzą z teorii mnogości.
Pogląd ten wpływa na teorię dowodu matematycznego, zgodnie z którą prawdziwość twierdzenia można określić poprzez wyprowadzenie go z aksjomatów za pomocą logiki. Formalizm sugeruje, że twierdzenia matematyczne nie mają treści semantycznej poza mechanicznie przeprowadzonymi kalkulacjami. Oznacza to, że prawdziwość twierdzeń ocenia się niezależnie od ich zawartości.
Program formalizacji matematyki
Formalizację matematyki zaproponował David Hilbert, którego celem było wykazanie niesprzeczności matematyki. W projekcie uczestniczyli znani matematycy, tacy jak Bertrand Russell, Alfred North Whitehead oraz grupa Bourbaki. Jednakże Kurt Gödel podważył to rozumienie, dowodząc twierdzenia o niezupełności systemów formalnych zawierających arytmetykę liczb naturalnych. Twierdzenie to wskazuje, że w niesprzecznych systemach formalnych istnieją zdania, których nie można dowieść ani obalić.
Rezultaty Gödla zostały wzmocnione w latach 70. XX wieku, kiedy to odkryto nierozstrzygalne zdania w sformalizowanej arytmetyce liczb naturalnych.
Współczesne znaczenie formalizmu
Dziś formalizm traktuje się głównie jako technikę budowania teorii matematycznych, choć można go także uznać za paradygmat matematyki, pamiętając o jego ograniczeniach. Przeciwieństwem formalizmu jest platonizm, który zakłada, że obiekty matematyczne istnieją niezależnie od umysłu matematyka.
Przedstawiciele formalizmu
- David Hilbert
- Bertrand Russell
- Alfred North Whitehead
- Nicolas Bourbaki
