Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej

Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR)

Filtr FIR (filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej) to rodzaj nierekursywnego filtru cyfrowego, którego odpowiedź na sygnał pobudzenia o skończonej długości również jest skończona. W filtrach FIR nie występują pętle sprzężenia zwrotnego, co odróżnia je od filtrów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (IIR).

Transmitancja filtru FIR jest opisana wielomianem z wykorzystaniem współczynników filtru, co można zapisać jako:

$H(z)\; =\; b\_0\; +\; b\_1\; z^\{-1\}\; +\; \backslash ldots\; +\; b\_N\; z^\{-N\}\; =\; \backslash frac\{B(z)\}\{z^N\}.$

Odpowiedź impulsowa filtru FIR odpowiada ciągowi współczynników $\backslash \{b\_i\backslash \}.$ Realizacja skomplikowanych transmitancji wymaga wyższych rzędów wielomianów, co prowadzi do większej złożoności obliczeniowej w porównaniu do filtrów IIR. Współczesne implementacje filtrów FIR często korzystają z realizacji polifazowych oraz transformacji ortogonalnych, co umożliwia zmniejszenie złożoności obliczeniowej.

Zalety i wady filtrów FIR

Filtry FIR mają kilka kluczowych zalet, które sprawiają, że są szeroko stosowane:

• Łatwość zrównoleglania implementacji.
• Prostota projektowania w porównaniu do filtrów IIR.
• Stabilność, ponieważ funkcja transmitancji zawiera tylko zera.
• Pożądana skończona odpowiedź impulsowa w wielu zastosowaniach.
• Możliwość uzyskania liniowej fazy, co zapewnia równomierne opóźnienie składowych sygnału.

Jednak filtry FIR mają również pewne wady:

• Wyższa złożoność obliczeniowa.
• Większe zapotrzebowanie na pamięć operacyjną.

Przykład zastosowania filtru FIR

Rozważmy filtr FIR stosowany do estymacji średniego kosztu użytkowania energii elektrycznej na podstawie rachunków za prąd. Równanie estymacji przedstawia się następująco:

$y(n)\; =\; 0\{,\}5\; \backslash cdot\; x(n)\; +\; 0\{,\}5\; \backslash cdot\; x(n-1),$
gdzie:

• $n$ – numer miesiąca,
• $y(n)$ – estymowana wartość średnia,
• $x(n)$ – wartość rachunku za bieżący miesiąc,
• $x(n-1)$ – wartość rachunku z poprzedniego miesiąca.

Na przykład, dla miesiąca $n=4$, obliczenia dają:

$y(4)\; =\; 0\{,\}5\; \backslash cdot\; 59\; +\; 0\{,\}5\; \backslash cdot\; 31\; =\; 45.$

Powyższe równanie ilustruje działanie filtru FIR, który wygładza sygnał, eliminując nagłe zmiany i powodując, że zanik sygnału wymuszającego prowadzi do zaniku sygnału wyjściowego w skończonym czasie.