Reklama

Filtr Kalmana

Filtr Kalmana to algorytm służący do rekurencyjnego wyznaczania estymaty stanu modelu liniowego dyskretnego układu dynamicznego, bazujący na pomiarach wyjścia i wejścia tego układu. Algorytm zakłada, że pomiary i procesy przetwarzania są obarczone błędem o rozkładzie gaussowskim.

Reklama

Wstęp

Teoretycznie filtr Kalmana jest optymalnym estymatorem dla problemu liniowo-kwadratowego, co oznacza, że wykorzystuje pomiary liniowo związane ze stanem układu, zakłócone przez biały szum. Jego równania zachowują swoją formę nawet w przypadku niestacjonarnych układów, co jest jedną z jego kluczowych zalet w porównaniu do filtru Wienera.

Równania modelu stanu

Filtr Kalmana modeluje stan układu za pomocą równań:

Reklama

$\mathbf{x}(t+1) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)$
$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{w}(t)$

gdzie $\mathbf{x}(t)$ to wektor stanu, $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ to odpowiednie macierze systemowe, a $\mathbf{v}(t)$ i $\mathbf{w}(t)$ to wektory szumu.

Równania filtru

Równania filtru Kalmana dzielą się na dwie kategorie: aktualizacja czasu i aktualizacja pomiarów.

Aktualizacja czasu

Równania te predykują stan układu na chwilę $t$ na podstawie estymaty stanu na chwilę $t-1$ :

$\hat{\mathbf{x}}(t|t-1) = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}(t-1|t-1) + \mathbf{B}\hat{\mathbf{u}}(t-1)$
$\mathbf{P}(t|t-1) = \mathbf{AP}(t-1|t-1)\mathbf{A}^T + \mathbf{Q}$

Wektory te określają estymaty a priori i a posteriori.

Aktualizacja pomiarów

Równania te aktualizują predykcję stanu na podstawie pomiarów:

$\hat{\mathbf{x}}(t|t) = \hat{\mathbf{x}}(t|t-1) + \mathbf{K}(t)\mathbf{e}(t)$
$\mathbf{e}(t) = \mathbf{y}(t) – \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}(t|t-1)$
$\mathbf{K}(t) = \mathbf{P}(t|t-1)\mathbf{C}^T\mathbf{S}^{-1}(t)$
$\mathbf{S}(t) = \mathbf{C}\mathbf{P}(t|t-1)\mathbf{C}^T + \mathbf{R}$
$\mathbf{P}(t|t) = \mathbf{P}(t|t-1) – \mathbf{K}(t)\mathbf{S}(t)\mathbf{K}^T(t)$

Macierz $\mathbf{K}(t)$ nazywana jest wzmocnieniem Kalmana i decyduje o zaufaniu do estymaty stanu w porównaniu do pomiarów.

Zastosowania

Filtr Kalmana znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym:

Automatyka
Robotyka
Elektronika
Przetwarzanie sygnałów

Przykłady zastosowań to śledzenie obiektów, autopiloty oraz usuwanie szumów z pomiarów.

Rys historyczny

Algorytm został opracowany przez Rudolfa Kalmana w 1960 roku. Jego prace doprowadziły do rozwoju teorii filtracji, która nie wymagała stacjonarności sygnałów, co było rewolucyjne w kontekście ówczesnych metod. Filtr Kalmana stał się kluczowym narzędziem w inżynierii, zwłaszcza w kontekście lotów kosmicznych i nawigacji.

Reklama