Epimorfizm

Epimorfizm

Epimorfizm w teorii kategorii to morfizm $fcolon\; X\; to\; Y$, który posiada prawostronną własność skracania. Oznacza to, że dla wszelkich morfizmów $g\_1,\; g\_2colon\; Y\; to\; Zg\_1\; circ\; f\; =\; g\_2\; circ\; f\; Rightarrow\; g\_1\; =\; g\_2.$ Epimorfizmy są podobne do funkcji surjektywnych, ale nie są z nimi tożsame. Dualnym pojęciem do epimorfizmu jest monomorfizm.

W kontekście algebry, epimorfizm definiowany jest często jako homomorfizm „na” (surjektywny). Każdy epimorfizm w sensie algebraicznym jest epimorfizmem w teorii kategorii, jednak nie zawsze dotyczy to wszystkich kategorii.

Epimorfizm konormalny

Epimorfizm nazywany jest epimorfizmem konormalnym, jeśli jest kojądrem jakiegoś morfizmu. Kategoria, w której każdy epimorfizm jest konormalny, określana jest jako kategoria konormalna. Przykładami kategorii konormalnych są Gr, Ab, oraz Vect, w których dla każdego morfizmu $alphacolon\; A\; to\; B$ istnieje kojądro, równe grupie ilorazowej $B/G$, gdzie $G$ jest najmniejszą podgrupą normalną zawierającą $alpha(A).$

Przykłady

• W kategorii Set epimorfizmami są odwzorowania „na”. Przykład: jeśli $fcolon\; X\; to\; Y$ jest epimorfizmem, to nie może istnieć element $y\_0\; in\; Y\; setminus\; f(X)$.
• Morfizmy identycznościowe również są epimorfizmami.