Element odwrotny

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.
Niech $\backslash diamondsuit$ oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze $S.$ Element $x$ nazywa się elementem odwrotnym do $y$ jeżeli spełnione są dwa warunki:
# $x\; \backslash ;\backslash diamondsuit\backslash ;\; y\; =\; e,$
# $y\; \backslash ;\backslash diamondsuit\backslash ;\; x\; =\; e,$
gdzie $e$ oznacza element neutralny działania $\backslash diamondsuit.$
Jeżeli działanie $\backslash diamondsuit$ zapisywane jest za pomocą symboli $+,\; \backslash ;\; \backslash oplus,\; \backslash ;\; \backslash cup,\; \backslash ;\; \backslash lor,$ itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia $-x.$ Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: $*,\; \backslash ;\; \backslash cdot,\; \backslash ;\; \backslash otimes,\; \backslash ;\; \backslash cap,\; \backslash ;\; \backslash land,\; \backslash ;\; \backslash star,$ itp. i oznaczamy $x^\{-1\}$

Elementy jednostronne

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. „Zwykły” element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.
Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.
W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.

Przykłady

* Niech $\backslash diamondsuit$ będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby $2$ jest liczba $-2.$ Mamy bowiem: $2+(-2)=0$ oraz $(-2)+2=0$ (zero jest elementem neutralnym dodawania).
* Jeżeli $\backslash diamondsuit$ jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby $2$ jest liczba $\backslash tfrac\{1\}\{2\},$ bo $2\; \backslash cdot\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 2\; =\; 1$ (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).
Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.
Kategoria:Algebra abstrakcyjna